圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)

考点分析:

利用圆的相关概念求角度或者线段长度(多在选择题、填空题出现)

利用垂径定理求弦长或者与三角函数相结合求三角函数值等(多在选择题、填空题出现)

应用垂径定理解决实际问题(多在选择题、填空题、解答题出现)

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(1)

一、圆的相关概念

1.圆的定义

在一个平面内,线段OA绕固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA交做半径,以O为圆心的圆记做“圆O”。

2.与圆有关的概念

(1) 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,弧分劣弧、半元和优弧

(2) 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做半径。

(3) 等圆:半径相等的两个圆是等圆。

3.圆的对称性

圆是轴对称图形,过圆心的任一条直线都是它的对称轴

4.垂径定理及推论

(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧

(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(2)

二、常考的几个题型

圆的有关概念

例题1:图中圆心角∠AOB=30∘,弦CAOB,延长CO与圆交于点D,则∠BOD=______.

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(3)

分析:根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°,利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°,然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°,则∠BOD=60°-30°=30°.

解题过程:

∵CA∥OB,

∴∠CAO=∠AOB=30∘,

∵OA=OC,

∴∠C=∠OAC=30∘,

∴∠AOD=2∠C=60∘,

∴∠BOD=60∘−30∘=30∘.

故答案为30∘.

垂径定理及其推论

例题2

如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,连接OC.若OC=5,CD=8,则AE= .

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(4)

解题过程:

∵弦CD⊥AB,CD=8,

∴CE=1/2CD=4.

在Rt△OCE中,由勾股定理可得OE=3.

∵OA=OC=5,OE=3,

∴AE=OA-OE=2.

答案:2.

构造弦心距妙解题

例题3

如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有()

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(5)

分析:

如图, O的直径为10cm,弦AB为8cm,当OP⊥AB时OP有最小值,连接OA,过O作OD⊥AB,根据垂径定理和勾股定理即可求出OD为3,

所以得到当OP⊥AB时P的最小值为3,当OP与OA重合时P最大为5,这样就可以判定P在AD之间和在BD之间的整数点,然后即可得到结论.

解题过程:

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(6)

如上图所示,连接OA,过O作OD⊥AB于D,

∵O的直径为10cm,弦AB为8cm,

当OP⊥AB时OP有最小值,

则AD=12AB=4cm,

由勾股定理得OD=根号下(OA的平方-AD的平方)=3cm

∴当OP⊥AB时OP的最小值为3,

当OP与OA重合时P最大为5,

∴P在AD中间有3,4,5三个整数点,

在BD之间有4,5,两个整数点,

故P在AB上有5个整数点。

故选D.

例题4

如图,以△ABC的边BC为直径的O分别交AB、AC于点D. E,连结OD、OE,若∠A=65∘,则∠DOE=___.

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(7)

分析:

如图,连接BE.由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°,再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题.

解题过程:

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(8)

如图,连接BE.

∵BC为O的直径,

∴∠CEB=∠AEB=90∘,

∵∠A=65∘,

∴∠ABE=25∘,

∴∠DOE=2∠ABE=50∘,(圆周角定理)

故答案为:50∘.

三、总结:

1.圆的概念的题目,一般都比较基础,但是有几个地方需要注意

(1)圆的位置是由圆心确定的,圆的大小由半径确定,半径相等的两个圆叫做等圆。等圆一定能够互相重合,圆是由圆心和半径确定的。

(2)直径是弦,但是弦不一定是直径,只有经过圆心的弦才是直径,两条能够重合的弧是等弧,但长度相等的弧不一定是等弧。

2.垂径定理是圆的重要定理之一,是证明圆中线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据,在解决与弦、弧中点有关的问题时,常连接圆心和重点,或者过圆心作弦的垂线,利用垂径定理构造直角三角形来解决问题。如下图所示

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(9)

3.弦心距指的是圆心到弦的距离,它是一条线段,不难发现,这条线段具有如下几个特殊性质

垂直于弦且平分弦,在解答某些与圆有关的问题时,从构造弦心距入手,可化难为易。

圆的基本概念与性质(圆的基本性质一)(10)

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