圆的基本概念与性质（圆的基本性质一）

考点分析：

利用圆的相关概念求角度或者线段长度（多在选择题、填空题出现）

利用垂径定理求弦长或者与三角函数相结合求三角函数值等（多在选择题、填空题出现）

应用垂径定理解决实际问题（多在选择题、填空题、解答题出现）

一、圆的相关概念

1.圆的定义

在一个平面内，线段OA绕固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA交做半径，以O为圆心的圆记做“圆O”。

2.与圆有关的概念

（1） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧分劣弧、半元和优弧

（2） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做半径。

（3） 等圆：半径相等的两个圆是等圆。

3.圆的对称性

圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是它的对称轴

4.垂径定理及推论

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

（2）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

二、常考的几个题型

圆的有关概念

例题1：图中圆心角∠AOB=30∘,弦CA∥OB，延长CO与圆交于点D，则∠BOD=______.

分析：根据平行线的性质由CA∥OB得到∠CAO=∠AOB=30°，利用半径相等得到∠C=∠OAC=30°，然后根据圆周角定理得到∠AOD=2∠C=60°，则∠BOD=60°-30°=30°．

解题过程：

∵CA∥OB，

∴∠CAO=∠AOB=30∘，

∵OA=OC，

∴∠C=∠OAC=30∘，

∴∠AOD=2∠C=60∘，

∴∠BOD=60∘−30∘=30∘.

故答案为30∘.

垂径定理及其推论

例题2

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC.若OC=5，CD=8，则AE= .

解题过程：

∵弦CD⊥AB，CD=8，

∴CE=1/2CD=4.

在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE=3.

∵OA=OC=5，OE=3，

∴AE=OA-OE=2.

答案：2.

构造弦心距妙解题

例题3

如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有()

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

分析：

如图， O的直径为10cm，弦AB为8cm，当OP⊥AB时OP有最小值，连接OA，过O作OD⊥AB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OD为3，

所以得到当OP⊥AB时P的最小值为3，当OP与OA重合时P最大为5，这样就可以判定P在AD之间和在BD之间的整数点，然后即可得到结论．

解题过程：

如上图所示，连接OA，过O作OD⊥AB于D，

∵O的直径为10cm，弦AB为8cm，

当OP⊥AB时OP有最小值，

则AD=12AB=4cm，

由勾股定理得OD=根号下（OA的平方-AD的平方）=3cm

∴当OP⊥AB时OP的最小值为3，

当OP与OA重合时P最大为5，

∴P在AD中间有3，4，5三个整数点，

在BD之间有4，5，两个整数点，

故P在AB上有5个整数点。

故选D.

例题4

如图,以△ABC的边BC为直径的O分别交AB、AC于点D. E,连结OD、OE,若∠A=65∘，则∠DOE=___.

分析：

如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．

解题过程：

如图，连接BE.

∵BC为O的直径，

∴∠CEB=∠AEB=90∘，

∵∠A=65∘，

∴∠ABE=25∘，

∴∠DOE=2∠ABE=50∘,(圆周角定理)

故答案为：50∘.

三、总结：

1.圆的概念的题目，一般都比较基础，但是有几个地方需要注意

（1）圆的位置是由圆心确定的，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆叫做等圆。等圆一定能够互相重合，圆是由圆心和半径确定的。

（2）直径是弦，但是弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径，两条能够重合的弧是等弧，但长度相等的弧不一定是等弧。

2.垂径定理是圆的重要定理之一，是证明圆中线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据，在解决与弦、弧中点有关的问题时，常连接圆心和重点，或者过圆心作弦的垂线，利用垂径定理构造直角三角形来解决问题。如下图所示

3.弦心距指的是圆心到弦的距离，它是一条线段，不难发现，这条线段具有如下几个特殊性质

垂直于弦且平分弦，在解答某些与圆有关的问题时，从构造弦心距入手，可化难为易。

,