函数展开为幂级数唯一吗（函数幂级数展开还原）

函数幂级数展开唯一，可以通过代换等方法进行展开。

例1 把f（x）=－ln（1－x）展开。

解：ln（1＋x）=∑（－1）ⁿ⁺¹xⁿ/n

把x用－x替换得到

ln（1－x）=∑（－1）²ⁿ⁺¹xⁿ/n

进而得到

－ln（1－x）=∑xⁿ/n x∈（－1，1）

有了－ln（1－x）=∑xⁿ/n，如果让我们求∑1/（n·3ⁿ），那非常好求，只要令x=1/3即可，∑1/（n·3ⁿ）=－ln（1－1/3)=ln3－ln2。

问题是如果没有上面的展开式，直接让我们求∑1/（n·3ⁿ），那怎么办？方法很简单，就是把展开式求出来。例1是把－ln（1－x）展开成∑xⁿ/n，解决这个问题只要反过来，把∑xⁿ/n还原为－ln（1－x）就可以了。

例2 计算∑1/（n·3ⁿ）

解：设f（x）=∑xⁿ/n

fˊ（x）=∑xⁿ⁻¹=1/（1－x）

∑xⁿ/n=f（x）=∫ˣ₀1/（1－x)=－ln（1－x）

x∈（－1，1）

令x=1/3，∑1/（n·3ⁿ）=f（1/3）=ln3－ln2。

练习：计算∑n/[（n＋1)·2ⁿ]

（文中∑，n均为1→∞）