数学所有有关中考24题的知识点（这道题有两个课本上没有的知识点）

这是江苏省中考数学的一道填空压轴题。题目给的条件很少，内容很短，往往这种题才是最难的。题目还涉及到两个初中数学教材上没有的知识点，都很重要，一定要掌握了，没准今年中考就用得上了。

在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45度，则△ABC的面积的最大值为______.

分析：首先，这是一个定边对定角的问题。其中定边是AB=6，定角是∠ACB=45度。这里有第一个教材没有直接给出来的知识点，就是“定边对定角中，角的顶点是一个动点，它的运动轨迹是圆的一部分。”定边AB是圆的一条弦，弦AB把圆分成两个部分，一部分是优弧，一部分是劣弧。

当AB是直径，或者说当定角等于90度时，则AB把圆分成两个半圆，这时定角的顶点的运动轨迹是除了A点和B点之外的整个圆。而当定角是锐角时，顶点的轨迹在优弧上；当定角是钝角时，顶点的轨迹在劣弧上。这其实是教材上圆周角定理的推论之一“同弦对等圆周角”所决定的。

因为问题的关键是要找到顶点C所在的圆。可以取△ABC形成等腰直角三角形时，做△ABC的外接圆，其中∠A=90度，如下图：

其中优弧ACB就是点C的运动轨迹，不包括A，B两个端点。而△ABC中，底边AB是定边，所以只要C点到AB的距离，即AB上的高最长，面积就最大。这就要用到第二个教材上没有出现的知识点“圆上与弦距离最大的点在弦的垂直平分线上”. 当然这样的点有两点，我们取其中距离最大的点，如下图：

圆中的C'点和E点都在AB的垂直平分线与圆的交点上，而其中C’点到AB的距离显然更大，所以C'点就是使△ABC面积最大的点。接下来就只要求得AB上的这条高C'D的长就可以了。

首先由等腰直角三角形ABC的三边关系，求得圆的直径BC=根号2 AB=6倍根号2. 前面作的这个等腰直角三角形还是有用的，这也算是数学上的“伏笔”了。

然后求得半径OC'=OB=BC/2=3倍根号2. 又在等腰直角三角形BOD中，OD=BD，而BD=AB/2=3，这是垂径定理决定的。所以C'D=OC' OD=3倍根号2 3.

最后求得三角形ABC'的面积S=C'D·AB/2=9倍根号2 9，这就是△ABC的面积最大值了。

这道题如果不知道上面提到的两个教材上没有的知识点，仅凭教材上的知识，就会变得异常困难了，所以千万不能只靠课本，平时在解题时，就要多发现、提炼知识，这样才能在未来中考中取得好成绩。

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