数字点连线训练方法（十大数学方法之插空法）

题目特征

排列组合问题中，题目要求某几个元素不相邻，求有多少种不同组合方式。

例：7人坐成一排，其中甲、乙不能相邻，问有多少种不同的坐法？

技巧在手，天下我有

解题步骤三步走

①先排可以相邻的，形成若干个空位

②再将不相邻插空

③算总情况数：分类用加法，分步用乘法

搓搓小手，技巧到手

【例1】有A、B、C、D、E五个人要排成一行，A、B要求不相邻，问一共有多少种排列方法?

A.24 B.36 C.48D.72

【答案】D

【解析】插空法：不相邻

①先排可以相邻的C、D、E，为，会形成4个空位

②再将不相邻的A、B插空，此时A、B交换顺序对结果有影响，应考虑A、B的顺序，为

③算总情况数：分类用加法，分步用乘法，本题为分步，故用乘法，为×=6×6×2=72。

【例2】五本不同的童话书和四本相同的漫画书整齐的摆放在书架上，现在要求所有漫画书不能摆放在一起，问有多少种摆放方法?

A.120 B.1200 C.1800 D.17280

【答案】C

【解析】插空法：不相邻

①先排可以相邻的5本不同的童话书，会形成6个空位

②再将不相邻的4本相同的漫画书插空，因为漫画书都是相同的，不用考虑顺序，为

③算总情况数：分类用加法，分步用乘法，本题是先排童话书，再排漫画书，分步排列，因此用乘法

知识巧记—空位与间隔

问：①N个物体之间有几个间隔？

②N个物体可以形成几个空位？

快速记忆

①伸出漂亮的小手，比个“耶”的手势

②数一数两个手指间有几个间隔，有几个空位

小结：N个物体之间有N-1个间隔；有N 1个空位。

方法我有，快来练手

【练1】某条道路一侧共有20盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10盏。但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有（ ）种开灯方案。

A.2 B.6 C.11 D.13

【练2】甲、乙、丙、丁、戊，五个同学排队照相，甲乙同学不能站在一起，问有多少种站法?( ) 

A.36  B.48  C.60  D.72

【练3】把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两旁，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点都必须是松树。问有多少种不同的种植方法?( ) 

A.36  B.50  C.100  D.400 

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Ø 参考答案及解析

【练1】【答案】C

【解析】熄灭的10盏路灯彼此不能相邻，插空法，亮着的10盏路灯之间有11个空，C（11 10）=11种，选C

【练2】【答案】D

【解析】因为甲乙不能站在一起，即不相邻，所以使用插空法，先安排剩余的丙丁戊三个人，共有A3 3=6种排列方式，再把甲乙插入到丙丁戊形成的4个空当中，共有A4 2=12种排列方式，所以共有6×12=72种排列方式。因此选择D。

【练3】【答案】C

【解析】每侧种植9棵，即包括3棵柏树和6棵松树。由于每侧的柏树数量相等且不相邻，满足插空法的适用环境，且道路起点和终点都必须是松树，所以可以先将6棵相同松树依次排列，再往中间5个空当中插入三棵柏树。共有=10种方法，由于两侧都需要种，分步用乘法，所以共有10×10=100种不同的种植方法。因此选择C。

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