立体几何概念分析（十大核心概念之几何直观）

一．概念描述

现代数学：借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称为“几何直观”。

小学数学：小学数学教材中虽没有出现“几何直观”的定义，但小学数学诸多问题的呈现、分析等过程充分体现了“几何直观”的含义，以及它的作用和价值。例如，分数的理解对于小学生已经比较困难，分数的运算就更难了。然而，结合图形就变得容易多了。下图是1/2x1/4的直观表达：

正如2011版《课标》所阐释的：几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

二．概念解读

(1)几何直观是理解数学的重要方法

史宁中教授在《数学思想概论（第1辑）》有关复数的几何表示中提到“当给出了复数的几何解释后，人们才真正感受到了复数的存在，才逐渐接受了复数”，并做批注：“人们在阐述数学问题时，总是千方百计地给出几何解释，这便是几何直观。”

2011版《课标》解读指出：几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。

数学的直观解释有利于人们对数学的认识和理解。数学的发展过程表明，抽象的数学结论往往总能找到相对直观的表征和解释；很多重要的数学内容、概念，都有“双重性”——既有“数的特征”，也有“形的特征”。例如正比例关系，既可以用数与式的形式y/x=k表示，也可以用笛卡儿坐标系中的直线来表示。只有从两个方面认识它们，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义。

(2)几何直观是解决数学问题的重要方法

在几何直观中，几何指图形。因此，几何直观的核心内容是“图形与几何”领域的教学。这一领域的教学不仅要培养学生的逻辑推理能力，还要培养学生的几何直观能力。不仅如此，几何直观在表征和解决其他数学领域中的问题和现实世界中的问题时也发挥着重要作用，如数概念、数运算的直观理解，直方图、分布图对数据信息的形象比较，坐标系对几何与代数的综合反映等。所以，几何直观可以帮助学生直观地理解数学，它在整个数学学习过程中都发挥着重要作用，同时几何直观的培养还应融合于数与代数、统计与概率、综合与实践等领域的教学。

三．教学建议

(1)重视画图与变化，积累经验

画图技能和图形的变化是几何直观的基础。在画垂线、平行线、角、三角形、三视图、对称图的过程中，在用学具进行平移、旋转中，不仅能够加深学生对知识的理解，而且能够为其几何直观的发展积累活动经验。

(2)运用“数形结合”培养学生几何直观的意识

教学中，教师要充分运用数与形的结合，一方面贯通对知识、技能的认识和理解，另一方面彰显直观的好处，使学生产生几何直观的意识，如两位数乘法与点子图、平方差公式与两个正方形的面积差等。（分别如下图中的左、右图）

教师在教学中把几何直观运用得越充分，直观的效果越明显，学生的直观表现意识就会越强烈。

(3)培养学生用图形来阐述和解释数学问题的方法

一方面，日常教学中教师要注重引导学生“画图”，能画图尽量画图，画“自己的图——只要是能对理解概念、理解问题、分析问题、解决问题有帮助即可”。另一方面，培养学生掌握一些重要的图形工具，如点子图、线段图、方格纸等，让学生不断运用这些图形工具解读问题，逐步形成几何直观能力。

四．推荐阅读

(1)《数学思想概论（第1辑）——数量与数量关系的抽象》（史宁中，东北师范大学出版社，2008）

该书第48页阐述了直观与数形结合的意义，强调了对于数学学科各领域的教学，最终都应该把培养学生的几何直观作为重要的价值取向。

(2)《小学数学教学策略>（张丹，北京师范大学出版社，2011）

该书第113页对画图策略进行了阐述，强调了画图可以帮助学生理解问题、解决问题、促进反思和交流等。