张朝阳推演质能方程（张朝阳的物理课继续研究氢原子）

1月21日12时，《张朝阳的物理课》第二十一期开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，继续讲解氢原子。为方便求解氢原子薛定谔方程，张朝阳将定义在直角坐标系上的拉普拉斯算符变换到球坐标系，接着讨论角动量算符的定义与性质，尤其是角动量算符之间的对易关系，最后将哈密顿算符分解为径向动量算符与角动量算符，实现径向与角向的分离，最终得到完备的算符集。后续只要解出其共同本征函数就能解出氢原子的薛定谔方程。

“我们目前正处在研究量子力学的阶段，我还是想把解决氢原子问题作为最近的课题。”张朝阳强调课程重点，“今天继续讲氢原子。氢是宇宙中最重要的元素，了解氢原子，就会了解很多重要的分子，比如水。氢原子是一个三维系统，比一维势阱复杂得多。”

从直角坐标到球坐标：拉普拉斯算符大变身

直播课开始，张朝阳先带网友们一起复习二体系统定态薛定谔方程，将其分解为质心运动部分与相对运动部分，前者容易求解，且与氢原子结构无关；而相对运动部分的薛定谔方程，则是讨论的重点。

张朝阳介绍，相对运动部分的薛定谔方程中的势能项，只与电子和质子之间的相对距离有关，与他们相对位置的方向无关，也就是说，势能只与径向部分有关，而与角向部分无关。因此可以考虑把相对运动的动能项也分解成径向与角向两个部分。然而在此前，动能项中的拉普拉斯算符是定义在直角坐标系当中的：

若将这个拉普拉斯算符也分解为径向部分和角向部分，则需要先求出它在球坐标系中的表达式。“根据球坐标系与直角坐标系的变换关系，可以得到球坐标系中的导数算符。”张朝阳讲到。

他继续推导，与直角坐标系不同，球坐标系的单位基矢量与坐标有关。他具体计算了这三个单位基矢量关于三个球坐标的各种偏导，并最终得到拉普拉斯算符在球坐标系下的形式：

从经典矢量到算符表示：角动量算符及其对易关系

此外，为了给大家介绍角动量的概念，张朝阳回到经典物理，计算了单摆的运动方程，并引入角动量的定义：

在量子力学中，直接把对应的动量变成动量算符即可得到角动量算符：

在此定义的基础上，张朝阳带着网友开始讨论角动量算符的对易关系，并计算角动量算符在球坐标系下的表示。他利用坐标与动量算符的正则对易关系、算符的运算规则，推导出角动量算符不同分量之间的对易关系。

（角动量算符分量之间的对易关系）

据此，可以进一步证明角动量算符的平方与角动量算符的z分量对易：

哈密顿量变形式 径向角向相分离；H、L2、Lz，构成完备算符集

张朝阳继续讲解，前面已经介绍了球坐标系、导数算符在球坐标系下的表示，那么，根据角动量算符和动量算符的定义，就可以将角动量算符也用球坐标系表示出来：

并逐步求得角动量算符的平方：

他还提醒网友，对比此算符与拉普拉斯算符在球坐标系的表示，会发现其中关于角度的部分可以用角动量算符的平方表示出来：

“将拉普拉斯算符代回哈密顿算符的动能项当中，就可以将哈密顿算符用角动量算符表示出来。”张朝阳揭晓最终答案。

（哈密顿算符的径向与角向分离）

通过推导发现，角向部分被全部吸收到角动量算符中，哈密顿量的径向与角向也因此被分离。“由于角动量与r无关，根据上述形式的哈密顿量，很容易就能证明角动量算符的平方与哈密顿算符对易。另外前面也证明了角动量算符的平方与角动量算符的z分量对易。由此，哈密顿算符、角动量算符的平方、角动量算符的z分量，这3个算符就构成了一组完备的相互对易的算符集，” 张朝阳说，“后续只要解出其共同本征函数就能解出氢原子的定态薛定谔方程。”

“氢原子就是太复杂，我们不得不用到什么就学什么。”直播尾声，他再次鼓励网友。“物理学就是要一步步寻找最简化的方案。在这个过程中，我们需要什么知识，就学什么知识。”

发力知识直播 传播知识玩转科学

自11月5日至今，《张朝阳的物理课》已直播二十期。在第一、二课中，张朝阳科普了“力”和“速度”，算出马斯克的飞船和中国空间站每日绕地飞行圈数；第三、四课和“振动”相关，科普可见光的基本知识；第五、六课引发了关于音速和温度的大讨论；在第七、八、九课重温经典物理学的两朵乌云。

第十、十一课重点回顾黑体辐射曲线及其应用；第十二、十三、十四课尝试进入爱因斯坦的思想世界，推导出著名的公式“E=mc2”，并论证钟慢尺缩效应；第十五课讲解了原子的结构和原子核的衰变；第十六课开始进入量子力学，讨论光的波粒二象性、康普顿散射、海森堡不确定性原理，以及薛定谔方程等。

从近二十期的物理课可以看出，《张朝阳的物理课》的直播风格独树一帜——通过观察日常生活现象、用网友最熟悉的话题来提升兴趣，再以公式推导的方式解释其背后的物理原理，“透过现象看本质”，进而反过来解决生活中的类似问题。

张朝阳认为研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理课的受众能保有好奇心，“在好奇心驱使下，了解自然界的奥秘，了解我们在这个世界生存的道理”。在后续课程中，他还将继续以这种直播风格解释生活中常见的物理现象，让普通人能够听懂、专业人士也能认可，激发科学学习的热潮。该课程于每周周五、周日12时在搜狐视频直播。同时，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看往期完整视频回放。

除《张朝阳的物理课》外，搜狐视频也邀请多位通识教育播主，科普知识，传递价值。北京交通大学理学院教师陈征博士玩起了“奇趣的科学实验”，走进“光的波粒二象性”；康奈尔大学物理化学博士包坤，化身“包大人玩科学”，教普通人看懂2021年诺贝尔奖；还有天体物理博士刘博洋科普“日全食是怎么产生的”等，近期走红的理论物理博士后周思益，也来搜狐视频开通“弦论世界”直播课。未来，还将有更多知识播主入驻，一起互动玩转科学。

来源：中国青年网