数学不等式选讲训练（免费数学辅导不等式组整数解问题）

（三）不等式组没有整数解

回顾：关于不等式的解与非解具有如下结论：

（1）不等式的解：如果x=m是不等式ax>b（或ax<b）的解，则am>b（或am<b）．

（2）非不等式的解：如果x=m不是不等式ax>b（或ax<b）的解，则x=m是不等式ax≤b（或ax≥b）的解，从而am≤b（或am≥b）．

例如（前面的练习）：已知关于x的不等式2(x 3)<x-m的最大整数解为x=0，求m的取值范围．

解：依题意，得：x=0是不等式的解，但x=1不是它的解．根据不等式解与非解的结论（1）、（2），得：

所以m的取值范围是-1≤m<0．

评注：如果不等式的最大整数解是x=n，则x=n 1不是该不等式的解．

我们知道，任何一元一次不等式都有整数解，而且有无数多个整数解，但对于一元一次不等式组就不一定有整数解了。如何确定字母系数的取值范围，使得不等式组没有整数解呢？

题：已知关于x的不等式组

没有整数解，求k的取值范围．

解析：不等式组的整数解取决于x>0和3x 1<2k的解，而x>0的整数解有无数多个，其中最小的整数解是x=1；要让不等式组没有整数解，只要x=1不是不等式3x 1<2k的解就可以了。根据不等式非解的意义（即结论（2）），得：

3×1 1≥2k，解之，得k≤2，

所以k的取值范围是k≤2.

评注：解集为n<x<m（n为常数且n为整数）的不等式组如果没有整数解，则x=n 1不是不等式x<m的解．

练习3 如果关于x的不等式组

没有整数解，求k的取值范围．