数学分式函数知识点（小知识之分式指数函数对称问题和解三角形中的等分线问题）

今天对后台提出的两个小问题进行答疑，这两个小问题很有实用性，理解难度不大，第一个问题是分式指数函数的对称中心问题，这在很久之前给出过一期解析，链接为：与分式指数函数有关的对称性问题，看懂理解的案例和结论即可，对称中心经常结合抽象函数不等式的求解问题。

解题的关键在于求出分式指数函数的对称中心，常用的方法有两种，一是直接设出对称中心(a,b)，设函数上一点(x,y)，则关于对称中心对称的另外一点(2a-x,2b-y)也在函数上，代入求解即可，这样做有些麻烦，二是利用非直线类连续型函数的对称中心为函数的拐点即凹凸性发生改变的点，用二阶导数为零求出对称中心的横坐标，代入求纵坐标即可，例：

分式型指数函数可以分两类，一类是不连续的分式形式，定义域不为R，在间断点处取得对称中心，这种形式类似于反比例函数形式，另外一类是连续的分式形式，对称中心在函数上，以下为常见的分式型指数函数对称中心的结论：

上述结论中函数的对称中心的横坐标其实只与将分母中常数化为同底数指数的幂有关，另外结论还有其它变形，在这里不给出，求出对称中心后根据函数的平移伸缩求出最后的对称中心即可，给出后台提出的题目：

第二个问题是解三角形中的中心或者等分线的处理问题，这种是一种较为成熟的题目，中线的处理思路有两个，一是转化为向量，二是利用图中互补的两角余弦值相加为零即可确定出中线长度和三角形三边的关系；若是等分线，例如三等分线，以上两种方法依旧可以使用，但利用两角互补余弦值为零的式子得到的中线与三边长的等式各项的系数会存在不对称的情况。

案例2为中线，此时分母相同，相加之后的分子b²和c²的系数相同，这时结合其他条件就可以直接求出某个角度的值，另外中线有时也会以重心的形式给出，处理方法相同，例：

案例3处理起来简单一些，相似的问题在2021年太原市二模中出现过，链接为2021年太原市高三二模理科数学选题解析，读者可自己试一下，若题目中给出的不再是中线，而是三等分线，又该如何处理，以2021年新高考1卷的题目为例：

三等分线导致上述分母不同，整理后a,b,c三者的系数不同，不能直接求出角的余弦值，但可求出a/c或c/a的值，再用一次余弦定理，将余弦定理转化为a/c的形式即可，注意a/c的解不唯一，需要根据能否构成三角形排除多余的解。