人工智能数学与统计（人工智能No.15数学分析之导数）

【导读：当今人类即将或者已然了进入智能时代，这是·情报通·人工智能科普系列第[15]篇文章，欢迎阅读和收藏】

1. 导数

导数（ Derivative ）是微积分中的重要基础概念。当函数 y=f （ x ）的自变量 x 在一点 x0 上产生一个增量Δ x 时，函数输出值的增量Δ y 与自变量增量Δ x 的比值在Δ x 趋于 0 时的极限 a 如果存在， a 即为在 x0 处的导数，记作 f' （ x0 ）或 df （ x0 ） /dx 。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

对于可导的函数 f(x) ， x ↦ f'(x) 也是一个函数，称作 f(x) 的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

2.1 导数公式

设函数 y=f （ x ）在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量Δ x ，（ x0 Δ x ）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δ y=f （ x0 Δ x ） -f （ x0 ）；如果Δ y 与Δ x 之比当Δ x → 0 时极限存在，则称函数 y=f （ x ）在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y=f （ x ）在点 x0 处的导数

2.2 导函数

如果函数 y=f （ x ）在开区间内每一点都可导，就称函数 f （ x ）在区间内可导。这时函数 y=f （ x ）对于区间内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y=f （ x ）的导函数，记作 y' 、 f' （ x ）、 dy/dx 或 df （ x ） /dx ，简称导数。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。

2.3 导数的几何意义

函数 y=f （ x ）在 x0 点的导数 f' （ x0 ）的几何意义：表示函数曲线在点 P0 （ x0,f （ x0 ））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

3.1 函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件。首先，要使函数 f 在一点可导，那么函数一定要在这一点处连续。换言之，函数若在某点可导，则必然在该点处连续。这个结论来自于连续性的定义。

3.2 导数与函数的性质

3.2.1 单调性

3.2.2 凹凸性

可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上 f'' 恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的

3.3 导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合

两个函数的乘积的导函数：一导乘二 一乘二导。

两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母 - 子乘母导）除以母平方

如果有复合函数，则用链式法则求导。