如何求麦克劳林公式的取值范围（麦克劳林公式的魔法）

求不定式极限最常用的方法，是利用洛必达法则，即对分子分母同时求导，再求极限。洛必达法则可以重复运用，直至求出极限为止。但是有些不定式极限，反复运用洛必达法则求解，可能相当繁琐，比如下面这个不定式极限：

求lim(x->0)(cosx-e^(-x^2/2)/x^4).

解1：【我们先来看看，运用洛必达法则是怎么求的。为了条理更清楚，下面采用拆解的方法】

因为(cosx-e^(-x^2/2))’=-sinx xe^(-x^2/2)->0 (x->0),

(-sinx xe^(-x^2/2))'=-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2)->0 (x->0),

(-cosx e^(-x^2/2)-x^2e^(-x^2/2))'=sinx-xe^(-x^2/2)-2xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)=sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2)->0 (x->0),

(sinx-3xe^(-x^2/2) x^3e^(-x^2/2))'=cosx-3e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2) 3x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)=cosx-3e^(-x^2/2) 6x^2e^(-x^2/2)-x^4e^(-x^2/2)->-2 (x->0),

即(cosx-e^(-x^2/2))^(4)=-2,

又(x^4)^(4)=(4x^3)"'=(12x^2)"=(24x)'=24，

所以原极限=-2/24=-1/12.

如果您觉得上面这种方法也挺简单的，那也可以坚持用这种方法的。不过下面利用麦克劳林公式求解的方法，肯定要简便得多的。

解2：【利用麦克劳林公式的关键是熟记常用函数的麦克劳林展开式，其中】

cosx=1-x^2/2! x^4/4! … (-1)^m*x^(2m)/(2m)! o(x^(2m)),

e^(-x^2/2)=1-x^2/2 x^4/(2^2*2!) … (-1)^m*x^(2m)/(2^m*m!) o(x^(2m)),

取m=2, 【即2m=4, 只需保持与分母的次数相同就可以了】

则原极限=lim(x->0)(x^4/24-x^4/8)/x^4=1/24-1/8=-1/12. 【这里其实仍运用了洛必达法则的思想，低次项求四阶导数后，肯定等于0，无穷小量的极限也等于0，所以它们都被省略掉了】

两种方法比较一下，明眼人都能看得出来，利用麦克劳林公式的方法要简便得多。不过运用麦克劳林展开式求极限有一个前提，那就是x必须是趋于0的。