黎曼猜想的详细数学推导（诞生了150多年的黎曼猜想如被证明）

数学界有两句著名的调侃：“如果魔鬼与一位数学家做交易，允许他用灵魂交换一个命题的证明，那他大概率会选择黎曼猜想的证明”，以及“如果500年后黎曼活过来了，他要问的第一件事就是黎曼猜想证明了吗？”这个由德国著名数学家黎曼提出的难题，已经困扰世人一个半世纪。

前段时间我们聊“三体问题”的时候，其中就说到了“希尔伯特问题”，黎曼猜想就在这23个问题之中。

希尔伯特

去年九月，菲尔茨与阿贝尔双料得主迈克尔·阿蒂亚爵士声明证明了黎曼猜想，并在随后贴出了证明黎曼假设（猜想）的预印本。但是这一证明并不成立。

虽然在黎曼猜想的证明现场，阿蒂亚爵士进行了现场讲解，提问环节更是全场陷入沉默，然而众多数学家表示：阿蒂亚爵士对黎曼猜想的证明只是推演物理学中精细结构常数α的副产品，建立在冯·诺依曼和弗里德里希·希策布鲁赫工作的基础之上。在第二节定义的TODD函数就不靠谱，而这恰恰是证明的关键所在。

简单来说，阿蒂亚是用了一个TODD函数的公式，假设有与黎曼猜想矛盾的点存在，这个公式是收缩的，那么就可以把一个个点代入这个公式，如果没有一个点成立，那么他就证明了黎曼公式。然而，这个TODD函数在他上一次在海德堡论坛上发布时，就被当场指出是错误的。

阿蒂亚爵士的一些证明过程细节，看得懂的可以自己推算一下

中科大数学系教授欧阳毅曾表示“这不是一次严肃的尝试，甚至连错误都算不上。在论述中没有使用到zeta函数的任何性质，而这在黎曼猜想中很关键。”

当然，虽然并没有证明黎曼猜想，但是阿蒂亚爵士依然是当代最伟大的数学家之一，他证明了阿蒂亚-辛格指标定理，在拓扑、微分方程、数学物理、代数等领域都有杰出成就。

那么黎曼猜想究竟是怎么呢？它为什么这么难证明呢？

如果说，数学是人类智慧的皇冠，那么数论就是皇冠上的明珠，而黎曼猜想则是明珠上最难擦拭掉的那个斑点。很多数学家表示，如果数学世界只剩下一个难题，那么一定是黎曼猜想。

美国的克莱数学研究所公布的七大千禧年数学难题，每个悬赏一百万美金，黎曼猜想名列第一。

黎曼是一名非常极具创新精神的数学家，他在十几岁的时候就曾只用6天的时间读完了厚达859页的勒让德数学名著《数论》，他的老师就是著名的“数学王子”高斯，他擅长对概念的创造与想象，黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼空间，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵都是他的成果。黎曼几何不但导致了另一种非欧几何，椭圆几何学的诞生；而且，更出乎意料的是，它竟然在半个多世纪后引导爱因斯坦成功地创立了广义相对论。如今，黎曼几何已成为理论物理学必备的数学基础了。

黎曼

1859年，黎曼被选为选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为《论小于已知数的质数个数》的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。

简单来说，黎曼猜想究竟讲了什么呢？就是一个寻找质数的方法。

什么是质数呢？我们应该在初中就学习过，就是指那些只能被1和自己所整除的数，如2、3、5、7、11等等。质数的研究属于数论的范畴。

早在古希腊时期，欧几里得的《几何原本》中就有对质数的研究。欧几里得采用反证法证明了质数有无穷个。

在《几何原本》里，欧几里得假若质数只有有限多个，设最大的一个是P，从2到P的全体质数是：2，3，5，7，11……，P。所有的质数都在这里，此外再没有别的质数了。

现在，我们来考察上面从2到P的全体质数相乘、再加上1这个数，设它是A，即A=2×3×5×7×11×……×P 1。A是一个大于1的正整数，它不是质数，就是合数。

如果A是质数，那么，就得到了一个比质数P还要大的质数，这与质数P是最大质数的假设矛盾。

如果A是合数，那么，它一定能够被某个质数整除，设它能被g整除。

因为A被从2到P的任何一个质数除，余数都是1，就是都不能整除，而质数g是能整除A的，所以质数g不在从2到P的全体质数之中。这说明质数g是一个比质数P更大的质数，这又与P是最大的质数的假设矛盾。

上面的证明否定了质数只有有限多个的假定，这就证明了质数是无穷多个。

至此之后，数学家们都费劲心思想要找寻质数分布的规律。著名数学家尼克尔·奥里斯姆就曾研究出新的函数-调和级数发散。推动了后来对质数规律的研究。而欧拉的乘积公式则推动了“数学王子高斯”和另一位数学大师勒让德提出了质数定理：

从不大于n的自然数中随机选一个，它是质数的概率大约是1/ln n。

在经过先辈的不断研究突破之后，黎曼发表了这篇《论小于已知数的质数个数》论文探究质数分布的奥秘。

论文手稿

黎曼通过研究，发现质数出现的频率的规律，提出了黎曼Zeta函数，黎曼Zeta函数是一个无穷级数的求和。

Zeta函数

黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。

第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

然而黎曼的这篇论文文字极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。

黎曼 zeta 函数在直线 Re(s) = 1/2 上的第一个非平凡零点

（若黎曼猜想证明为真，则该函数的所有非平凡零点，即两图像的交点均会出现在该直线上）

在这第一个命题里，不知道是不是和高斯学习的缘故，黎曼就曾表示，这么简单的问题，一看就明白了，还需要算和证明吗？

可能大神不理解凡人的苦吧！在40年之后，芬兰数学家梅林经过苦苦思索，虽然没有成功证明第一个命题，但是却取得了一些小突破。在46年之后，第一个命题最终才由德国数学家蒙戈尔特在给出了完整的证明。

第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。

关于第二个命题，黎曼自己表示已经证明出来了，因为他觉得命题的证明还没有简化到可以发表的程度，所以他并没有讲出来是怎么样证明的。然而，还没有等他把简化的证明方式放出来，因为饱受病痛折磨，黎曼39岁就英年早逝。不得不说是数学界的一个遗憾。

迄今为止，第二个命题依然没有被证明出来。但是许多数学家开始利用反证法想去证明第二个命题是错误的，如果一旦发现某一个零点并不位于实部是0.5的直线上，这样不就说明了第二个命题不成立了吗

黎曼 zeta 函数 ζ(s) 在区间-5 < Re < 2, 0 < Im < 60 内实部和虚部

1903年，丹麦数学家第一次算出了前15个非平凡零点的具体数值。在黎曼猜想公布44年后，人们终于看到了零点的模样。毫无意外的是，这些零点的实部全部都是0.5。

1925年，李特尔伍德和哈代改进了计算方法，算出前138个零点，这基本达到了人类计算能力的极限。

73年后，也就是1932年。一位德国数学家Siegel整理黎曼仅存的手稿，让黎曼当时演算零点所用的公式重见天日，这个公式被命名为Riemann-Siegel公式。

要知道，黎曼的手稿在他去世后有很大一部分被他的管家付之了一炬，只有一小部分被他妻子抢救了出来。在劫后余生的手稿中，又有一部分被他妻子以涉及私人信息为由 “克扣” 掉了 (其中包括许多几乎通篇都是数学，只夹带了极少量私人信息的手稿)，剩下的才是后人真正可以查阅的。那些可供查阅的手稿被收录于哥廷根大学的图书馆。

这不得不说又是数学界的一个损失。

为Riemann-Siegel公式震惊了整个数学界，因为这一公式比73年后数学家们所用的公式还要先进；数学界也更加为黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。

由此可以看出来黎曼说自己证明了第二个命题所言非虚，可惜不把证明过程留下就驾鹤西去，让无数数学家为这个问题想破了脑袋，穷尽了毕生心血。

借着这一公式，后来的数学家与计算机科学家们通过计算机已经验证了超过前200亿个非平凡零点都在临界线上，但是只要没有找到一个不再临界点上，那么既无法证明第二个命题是正确的，也无法证明是错误的，相当于做了无用功。

但数学毕竟不是经验科学，这并不能证明第二个命题正确。

第二个命题的证明推进到“至少有40%的非平凡零点在临界线上”，就再也没有新的进展了。

而第三个命题就是重头戏了：很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想了。

关于第三个命题，即使是黎曼自己也不敢确定。即使到现在，也依然没有人能够给出答案。

相比于哥德巴赫猜想虽然没有最终证明，但是中国数学界陈景润1966年已经证明了 “1 2 ”，而英国数学家怀尔斯也把费马大定理给证明了。黎曼猜想至今依然没有人能够完全最终破解！

为什么大家都争先恐后想要去证明黎曼猜想呢？因为质数在生活中的运用非常常见，包括信息安全和网络空间安全，乃至量子计算。

因为人类还没有发现质数的规律，以它作密钥进行加密的话，破解者必须要进行大量运算，即使用最快的电子计算机，也会因求质数的过程时间太长而失去了破解的意义。

现在普遍使用于各大银行的是RSA公钥加密算法 ，基于一个十分简单的质数事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。

黎曼猜想中的质数行为，更酷似量子力学中的“测不准原理”，虽然你可能不知道单个分子确切位置，但是你可以确定这个房间大致的分子分布，素数这难以捉摸的行为特别像量子幽灵掌握的微观世界。

在这150多年里，数学界一直没有停止对黎曼猜想的探索。黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，数学中将史无前例地于“一夜间”新增1000多条定理，这将对数学的面貌产生非同小可的影响。所有直接间接用到那些命题的领域也将程度不等地受到影响。

反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。 那些建立在黎曼猜想上的推论，可谓是一座根基不稳、摇摇欲坠、令人惶恐不安的大厦。

无数前赴后继的数学家耗尽一生心血的成果将成为一堆废纸，付之一炬。

不过相比于费马大定理300多年后才被人证明，哥德巴赫猜想200多年后才被人不完全证明，才诞生150多年的黎曼猜想还很年轻。数学家们依然对证明它怀有极大的信心。

李永乐老师讲解黎曼猜想

可以说，如果黎曼猜想最终被证明，这将成为21世纪最伟大的数学进展，即使没有证明，黎曼猜想也像一个宝库一样，因为解决一个重要的问题虽然重要，更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了！

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