量子力学中薛定谔方程与径向方程（量子力学的核心）

真的么？当人们开始从极小的尺度去思考这个世界时，比如：电子绕着原子核旋转，他们意识到一切变得非常奇怪，牛顿定律好像不能用了。为了描写这个微观的世界，你需要用到二十世纪初期发展而来的量子力学。这个理论的核心是薛定谔方程，可以类比经典力学中的牛顿第二定律。

波和粒子

“在经典力学中，我们用位置和动量来描述一个物理系统的状态”，剑桥大学的理论物理学家纳齐姆·布瓦塔解释道。例如：你有一个桌子，上面放了许多可以移动的台球，只要你知道了每一个球在某个时刻t的位置和动量（动量是质量乘以速度），你就可以知道这个系统在这个时刻t的所有信息：一切物体的运动状态和速度。“ 我们会问：如果我们知道系统的初始状态，即，如果我们知道系统在t时刻的状态，那么系统的状态将会如何演化？我们可以用牛顿第二定律解决这个问题。在量子力学中，如果问同样的问题，得到的答案却是棘手的，因为位置和动量不再是描述这个系统的合适的变量了。”

问题的关键是：量子力学试图去描述的对象及其行为并不是像小小的台球那么简单，有时将它想象为波更好一些。“以光作为例，牛顿除了在引力方面的工作，对光也非常感兴趣。”布瓦塔说，“根据牛顿的理论，光可以被描述为粒子。但是之后，根据许多其他科学家对其进行的研究，包括詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）提供的理论理解，我们发现，光用波来描述。”

但是在1905年的时候，爱因斯坦意识到，波的图像也不完全正确。为了解释光电效应，你需要将光束想象为粒子流，爱因斯坦称这种粒子为光子。光子的数目正比于光强，每个光子的能量正比于频率：

其中，它是普朗克常数，是一个非常小的常数，以马克斯-普朗克（Max Planck）的名字命名，1900年他在黑体辐射的工作中已经猜出了这个公式。“现在我们面临的问题是，描述光的正确方式是有时将它看成波，有时将其看成粒子”，布瓦塔说。

爱因斯坦的结果可以联系到科学界长久以来的努力，从十七世纪克里斯蒂安·惠更斯便开始尝试，十九世纪威廉·哈密顿继续进行探索，他们都想要统一关于光的波动性与粒子性的物理。被光在不同情况下的特性激励，年轻的法兰西物理学家路易·维克多·德布罗意在这个探索的旅程中迈出了激动人心的一步：他假定不止光，物质也有这种可称之为波粒二象性的特性。物质的基本组成单位，比如电子，也是在一些情况下表现的像粒子，一些情况下像波。

德布罗意（Louis de Broglie）, 1892-1987.

德布罗意于1920年提出的观点，与其说基于实验的证据而进行的猜想，不如说是受到爱因斯坦的相对论激发而产生的理论上的飞跃。但是不久之后科学家便发现了相应实验证据。在十九世纪二十年代晚期，粒子被晶格散射的实验证实了电子的“类波”本质。

证明波粒二象性的最著名的实验是双缝干涉实验。在这个实验中，电子（或其他粒子如光子或中子）被射出，会在同一时刻穿越有两个狭缝的屏幕。在这个屏幕后还有一个屏幕，可用来探测电子通过狭缝后最终到达的位置。但是，你在探测屏幕上实际看到的是干涉模式：如果假设电子是波，你才会看到这种模式。波同时穿过两个狭缝，然后当它向一个方向传播时，它与自身相互干涉。然而在探测屏幕上，当它刚到达时，电子是以粒子的状态被注意到，这与我们所预期的相同。事实上这个看起来非常奇怪的结果，是已经被重复无数次的实验事实—所以我们必须接受这就是世界运行的方式。

双缝干涉实验：由穿过狭缝的波的干涉模式

双缝干涉实验：当粒子被发射出狭缝预期结果

双缝干涉实验：粒子（比如电子）穿过狭缝时实际上会发生什么：你会得到类似波的干涉模式，但是电子是作为粒子到达的。

薛定谔方程

由德布罗意提出的新图像需要新的物理。与一个粒子有关的波到底有怎样的数学形式呢？爱因斯坦已经将光子的能量E与光波的频率f联系了起来，通过公式

我们知道频率与波长有关。这里c 是光速。采用相对论的结果，我们可以将光子的能量与动量联系起来。综合上述结论可给出在光子的波长 λ与动量 p之间的关系式：

其中h为普朗克常数。

基于此，德布罗意假设波长与动量之间的关系式应该对于任何粒子都成立。此时，最好先放弃你的直觉，不去想表现的像波的粒子究竟意味着什么，而是仅跟着数学的逻辑走下去。

在经典力学中，波（比如声波和水波）随时间的演化，可用波动方程来描述：其是一个微分方程，解为波函数，可以给出在任意时刻服从恰当边界条件的波的形状。

举例来说，假设波沿在x方向延伸的弦传播，在xy平面内振动。为了完全描述这个波，你需要知道在每个点x每个时刻t弦在y方向的位移。利用牛顿第二运动定律可知遵循如下波动方程：

v为波速。

上图为在xy平面内弦振动的照片，这里的波可被余弦函数所描述。

上述方程的一般解相当复杂，反映出弦可以根据各种方式进行摆动的事实。并且你需要更多的信息（初始条件和边界条件）来搞清楚到底是哪种运动。但是，作为一个例子，

函数描述了沿正x方向以角频率ω传播的波，则正如你所预期的，它是波动方程一个可能的解。

薛定谔方程以薛定谔的名字来命名，1887-1961.

类似，应当有一个波动方程，来统御神秘的物质波随时间的演化。它的解应该是波函数（不要把它想成实际的波），它会告诉你量子系统（比如：在箱子中运动的单个粒子）在时刻的所有信息。奥地利物理学家欧文·薛定谔（Erwin Schrödinger）在1926年想出了这个方程的。对于在三维空间中运动的单个粒子，方程可被写为如下形式：

其中为粒子的势能，势能是x, y, z ,t 的函数， m为粒子质量，h为普朗克常数。方程的解是波函数ψ（x,y,z,t）。

在一些情况下，势能不依赖时间t。在这种情况下，我们经常通过考虑更简单的时间独立的薛定谔方程来求解这个问题，在这个方程中，ψ（x,y,z）仅依赖空间，有使得以下关系成立：

E其中为粒子总能量。则整个方程的解为：

这些方程可应用于在三维空间运动的单粒子，对于有任意粒子的系统，也有相应的方程来描述。如果不把波函数写成位置和时间的函数，人们也可以将它们化为动量和时间的函数。

进入不确定性

我们可以从一个简单的例子（比如在无限深势阱中运动的单个粒子）出发来求解薛定谔方程，它的解与描述一个波的数学方程非常相似。

这个解到底意味着什么？它并不会给出粒子在给定时刻的精确位置，也不会给出一个粒子随时间变化的轨迹。更确切的说，它在给定时间的所有可能位置（x,y,z）可以给出你一个值ψ（x,y,z,t）。这个值意味着什么？在1926年时，物理学家波恩（Max Born）提出了统计诠释。他假设，波函数绝对值的平方

会给出在时刻t位置找到粒子的概率密度。换句话说，粒子在时间t出现在区域的概率由如下积分给出：

这个概率图像与德布罗意关于粒子波长和动量关系公式有令人吃惊的联系。海森堡在1927年发现，如果要测量一个运动粒子的位置和动量，人们有一个基本的精度限制。在某一方面如果想要测量的精度越高，其他方面人们能说的就越少。这并不是指测量仪器的质量问题，而是自然界根本就具有的不确定性。这个结果现在称为海森堡的不确定性原理，且是常常用来引述量子力学奇怪现象的几个结果之一。它意味着在量子力学里我们谈论不了粒子的位置或轨道。

海森堡（Werner Heisenberg）, 1901-1976.

“如果我们相信不确定性图像，由于我们对于像‘电子在时刻在哪里’这样的问题没有明确的答案，换句话说，所有量子状态的数学表示和状态都只能给我们概率的结果”，布瓦塔说。“德布罗意、薛定谔和爱因斯坦尝试提供一个真实的诠释，比如：在真空中传播的光波。但是，还有一些物理学家，泡利、海森堡和玻尔反对给出现实的图像。对于他们而言，波函数仅仅是计算概率的一个工具。”

它真的适用么？

为什么我们要相信这个异想天开的想法呢？在这篇文章中我们已经展示了薛定谔方程，好像它是从空中生拉硬拽出来的，但是它实际来自于哪里呢？著名的物理学家理查德.费曼认为这是个无意义的问题：“我们从哪里得到这个方程？它不能由你所知道的任何知识来推导出来。它来自于薛定谔的大脑。”

然而，这个方程已经经受住了迄今为止的每一个实验的考验。“这是量子力学中最基本的方程”，布瓦塔说，“这是我们想要描述的所有量子力学系统（如：电子、质子、中子等系统）的出发点。”这个方程早期成功地描述了氢原子的离散能谱，促成了量子力学的建立，这也是薛定谔的动因之一。根据欧内斯特·卢瑟福的原子模型，像氢原子这样的原子所发出的光的频率应该是连续的。然而实验表明：它并没有连续变化，氢原子只放出特定频率的光，当频率改变时有跳跃。这个发现与传统的哲学智慧背道而驰，传统的哲学思想是支持由十七世纪的哲学家和数学家戈特弗里德·莱布尼茨所说的格言的：“大自然不会跳跃（nature does not make jumps）”。

在1913年尼尔斯·玻尔提出了一个新的原子模型，在这个模型中，电子被限制到了特定的能级。薛定谔将它的方程应用于氢原子，发现他的解精确重复了由玻尔设定的能级。“这是一个激动人心的结果，也是薛定谔方程最初的主要成就之一”，布瓦塔说。

由于无数成功实验的支持，薛定谔方程在量子力学中已成为牛顿第二定律的类似物和替代品。

原文来源：https://plus.maths.org/content/schrodinger-1

,