数学概率方差例题（一道高中题-有关概率和期望值）

一道高中题-有关概率和数理统计

在你面前有六扇门。其中有五扇门的每一个门后面放了120元人民币，在第六个门的后面是山羊。你想开多少门就开多少门。如果所有的门都被你打开，你就可以拥有金钱后面的钱，只要你没有打开带有山羊的门，你就拥有所有的金钱。但如果山羊在门后 ，你一打开它，所有的钱都会被山羊吃掉了，你什么都得不到。你应该打开多少扇门，使你的预期赢钱价值最大化，你的预期值是多少钱吗?你的答案应该是有序对(n;m)其中n是你开的门的数量，m是你预期赢得的人民币值。

解：这是一个求解数学期望的值，比较好理解的一种方法是考虑每种开门数时候所获得的钱的期望值。

我们设Pn为开n扇门得钱的概率

当n= 5, 4, 3, 2, 1的时候，分别算出：

P5=1/6

P4=1/3

P3=1/2,

P2=2/3,

P1=5/6,

规定P6=0，因为山羊的出现，获得钱的概率为0

当6扇门全开时候，得不到钱，E（6）=0xP6=0, 此时的有序对为（6,0）

当开5扇门的时候， E（5）=120x5xP5=100, 此时的有序对为（5, 100）

当开4扇门的时候， E（4）=120x4xP4=160, 此时的有序对为（4, 160）

当开3门的时候， E（3）=120x3·P3=180, 此时的有序对为（3, 180）

当开2扇门的时候， E（2）=120x2·P2=160, 此时的有序对为（2,160）

当开1扇门的时候， E（1）=120x1·P2=100, 此时的有序对为（1, 100）

因此获得预期最大化的价值是开3扇门，为180元。