泛函分析与偏微分方程（泛函极值问题与变分法）

所谓泛函，是函数空间到数域的映射，如一元函数的泛函：

即泛函J的自变量是一个函数u(x)，J的值是关于u(x)和导数uʹ(x)及其自变量x的函数的积分。不难看出，泛函J的值取决于u(x)的具体形式。现在有个疑问，如果我们知道u(a)和u(b)的值，我们要问当u(x)满足什么条件的时候J取得极值呢，或者说怎么求出J在取得极值时的u(x)呢？

比如著名的最速降线问题就是这样的一个问题。最速降线问题要找的是这样一条曲线，小球以相同的起点和终点在以该曲线为形状的坡面上自由下降所经历的时间最短（假设没有摩擦也没有空气阻力，如图所示）。

设曲线为y(x)，根据机械能守恒，势能的减少等于动能的增加，即

而小球的速度又可以表示为

因此小球自由下降的耗时为

而最速降线就是当上面的泛函J[y(x)]取得极小值时的y(x)。

如果我们将泛函与一般函数做一个对比，那么类似的问题就是如何求函数的极值点。对于一元函数f(x)，在x处添加扰动δx，其Taylor展开为

如果f(x)在x处取得极小值，那么应该有

即

为了让上式对任意扰动δx（即无论正负）都成立，则必须有

至于后面的高阶无穷小量，可以忽略。不过如果当fʹ(x)=0时恰好fʺ(x)=0，那么就需要考虑后面的高阶小量了，此时f(x)取极小值的条件就变为

因为(δx)3可能是正或负，为了保证f(x δx)>f(x)对任意扰动δx都成立，就必须令含有(δx)3的项为零，即fʺʹ(x)=0。如果fʺ(x)=0时，fʺʹ(x)≠0，那么就说明f(x)在x处没有极值（如下图所示）。

对于多元函数f(x)，类似地，其在x δx处的Taylor展开如下（只要对每个自变量xi分别进行Taylor展开，再合并同类项即可）：

其中H(x)为Hessian矩阵：

注意上面式子中：x=(x1,x2,…,xn)T，∇f(x)=(∂f/∂x1,∂f/∂x2,…,∂f/∂xn)。类似一元函数的情形，f(x)取极小值的条件应该是，对任意的δx，有如下式子成立：

即

从上面的一元和多元函数情形分析可以认识到，为了便于分析泛函的极值问题，同样需要发明类似函数微分的泛函微分——即变分。我们依然以一元函数u(x)的泛函J[u(x)]为例进行讨论。

向u添加一扰动δu，该扰动是一个函数，也可写成δu(x)=εϕ(x)，即δu会随着ε→0而变成0常量函数。为便于分析，可以令扰动δu(x)在边界上的值为0。泛函中的被积函数F在扰动下的值为（类比多元函数的Taylor展开）

如果分别定义一阶变分和二阶变分为：

则泛函的扰动也可写成类似Taylor展开的形式：

相应地，泛函J取极小值的条件应该为

由δJ[u]=0并利用分部积分可得

由于扰动δu在边界上的值为0，若要使上式对任意δu成立，则应有

该方程称为泛函J[u(x)]的Euler-Lagrange方程，其对于u(x)来说是一个常微分方程，通过求解该微分方程就能得到u(x)的表达式。也就是说，通过变分法能将泛函的极值问题转化为一个微分方程求解问题。

比如对于最速降线问题，相应泛函的被积函数F为

其相应的Euler-Lagrange方程为

化简得

即

进一步得到

则方程变为

最后解得最速降线y(x)为

下面再来简单讨论一下有约束条件时的泛函求极值问题。先不妨回忆一下多元函数的条件极值求解过程。比如求f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的极值。我们可以引入Lagrange乘子，定义一个新的函数h(x,y,λ)=f(x,y)−λg(x,y)，该函数的取极值条件为

从下图中可以看到，在h的极值点处，f的等高线与曲线g=0相切，即h取得极值时也正是f在约束g=0下取得极值。h的取极值条件构成一个有关(x,y,λ)的非线性方程组，因此通过引入Lagrange乘子，最终可以将多元函数的条件极值问题转变为非线性方程组求根问题。

泛函的条件极值问题与多元函数的情形类似，例如求泛函J[u(x)]在约束条件

下的极值，通过引入Lagrange乘子，可以定义新的泛函：

该泛函取极值时正是J[u]取条件极值。因此问题就转变为求满足常微分方程：

的所有λ值和对应函数了（如果微分方程和边界条件都是齐次的，那么就是本征值和本征函数问题了）。

上面主要介绍了一元函数的泛函极值问题，其实泛函有很多种形式，比如对于依赖高阶导数的泛函：

其相应的Euler-Lagrange方程为

对于多元函数的泛函：

其相应的Euler-Lagrange方程为

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