名师工作坊理念（思维发展的核心）

数学知识间存在着内在联系。教师在教学中如果能够有效地沟通知识间的联系，学生就可能从整体上认识数学，形成知识链条，经历思维过程，体会到数学教学的有序有理，从而越学越清晰，越学越轻松。这是思维发展的核心，也是原汁数学的本质所在。本文以“图形的放大与缩小”一课为例，谈谈如何让数学课“原汁原味”。

一、思维的起始点：打破原有的平衡

案例1：教师出示一张A3纸与一张A4纸，并将A3纸对折，刚好与A4纸一样大

师：同学们，A3纸的面积刚好是A4纸面积的2倍，昨天老师拿着一张A3大小的建筑图纸到文印店，想把它复印并缩小为A4纸张的大小。

生：就是把图纸缩小到原来的1/2。

师：对！文印店的老板听了我的要求，把A3图纸放入复印机，先按下“缩小”按钮，再选择“缩小到50%”。同学们，你觉得复印的图纸会是我想要的那样吗？

（学生点头赞同）

师：可是，出来的图纸却不是我想要的那样。

教师出示复印后的图，只有A4纸面积的一半那么大。

生1：怎么只有这么大？不可能！

生2: 50%就是1/2，怎么变了？

生3：是不是复印机坏了？

（学生纷纷猜测原因）

师：其实，复印机并没有坏，这里面蕴含着一个数学知识。那就是我们今天学习的内容“图形的放大与缩小”（板书课题）

亚里士多德曾经说过：“思维自疑问和惊奇开始！”教师在课始巧妙创设“复印文件”的情境，这一素材既真实又新奇：与学生已有的知识经验产生矛盾，学生迫切地想知道“为什么50%不是1/2”，有效地唤起学生的好奇心和求知欲。

经常选择身边的材料引发学生积极思考，可以培养学生用数学的眼光看生活中的现象，逐步养成发现、研讨数学问题的习惯，这是数学学习的原动力和核心能力。

二、思维的生长线：寻找矛盾的根源

案例2：出示学习单，学生根据学习单自学课本

学习单

1.图形放大（或缩小），指的是把图形的放大或缩小。

2.为什么图纸“缩小到50%”，不是原来的一半？你找到答案了吗？

3.图形放大或缩小后，与原图形相比，什么变了，什么没变？

学生迫不及待地翻开课本，自学起来，继而开始汇报交流。

生1：图形的放大（或缩小），指的是把图形的每条边都放大或缩小。

生2：我知道为什么图纸的大小不是原图的一半了。缩小50%，指的是把图形的每条边缩小到原来的50%，不是把面积缩小到原来的50%。

师：那么，面积是怎样变化的呢？

生：面积应该只有原图形的1/4那么大。

师：为什么？

生：把一个长方形的图纸缩小50%，是把它的长和宽都缩小到原来的50%，面积就只有原来的50%×50%=25%。

师：同学们，你们很了不起，自己找到图纸大小不对的原因。把图纸“缩小到50%”，用我们今天的知识，应该怎样说？

生1：把图纸按2：1缩小。

生2：把图纸按1：2缩小。

师：把图形按一定的比放大（或缩小），指的是：变化后的图形与原图形之间的关系。比的前项和后项，表示的意义是一定的。

生1：比的前项表示变化后的图形，比的后项表示原图形。

生2：前项小就表示把原图形缩小，前项大就表示放大。

师：请同学们在方格纸上将下面各图形按1：2缩小。

生1：我发现了，长方形的面积只有原图形面积的1/4，所以老师复印的图纸肯定只有原来图纸的1/4。

生2：不仅是长方形面积是原图形的1/4，平行四边形和三角形的面积都只有原图形的1/4。

生3：因为平行四边形和三角形的底、高只有原来的1/2，所以面积只有原来的1/4。

师：同学们都很有分析能力，我们再来看看图形放大或缩小后，与原图形之间什么会发生变化，什么没有变化？

生1：图形的每条边都会发生变化。

生2：周长和面积也会发生变化。好像都发生了变化，没有什么不变的。

生3：图形的样子没有变，只是大小变了。

生4：图形中角的大小没有变。

师：图形的样子没有变，我们叫形状不变。那为什么图形的形状不会变呢？

生：每条边都是同时变化的。

师：老师想要把图纸面积缩小到原来的一半，文印店老板应该按“缩小到百分之几” 的按钮呢？

生1：不能按50%了，应该比50%大，因为50%得到的只有1/4。

生2：应该是缩小到原来的70%，因为70%×70%＝49%≈50%。

生3：对！如果是71%，它就大于50%了，因为71%×71%＝50.41%。

师：同学们真厉害！我们放学后，就把你的方法告诉文印店的老板。

教师的作用不是告诉学生答案，而是引导学生探寻，激发学生思维。学生在矛盾冲突的驱使和学习单的引领下，通过自学，自主寻找到“缩小到50%不是一半”的原因所在，从总体上认清“图形的放大与缩小”的本质：是对应线段长度的比，不是面积的比，并且和以前学习的知识进行有效地沟通、联系和统一，使学生经历从矛盾、疑惑到清晰的过程，在学习中体会到数学的严密有理和数学魅力。

数学的根本就是发展思维。本环节中，教师在学生充分理解“图形的放大与缩小”的本质后，让他们尝试解决“复印图纸”的问题。这既是一种逆向思维的应用，又是数感的培养；既是知识的应用，更能体会数学思考的魅力。

三、思维的结构图：建立新的平衡

案例3：梳理知识，建立体系

师：通过本节课的学习，你有什么收获？

生1：我知道了：图形的放大或缩小，是指把图形的每条边都按一定的比进行放大或缩小。

生2：我知道了，图形放大或缩小后，图形的大小会发生变化，但形状不变。

生3：图形按一定的比放大或缩小，这个比的前项是变化后的图形。

师：通过今天的学习，让你想到过去学习的哪些知识？

生1：我想到了比和比例。

生2：我想到了图形的边扩大a倍，面积就会扩大到它的a²倍。

师：如果将一个长方体的模型按3：1放大，放大后的长方体体积应该是原体积的多少倍？

生：放大后的长方体体积应是原体积的3×3×3＝27倍，这是因为：放大是指把长、宽、高都放大到原来的3倍。

根据学生的回答，可以引导得出下图。

数学学习就是不断地打破旧的平衡，建立新的平衡。在这样的学习过程中，教师可以不断地完善学生的知识结构。学生在认识“放大与缩小”的过程中，会从线段的关系认识到面积的关系，再上升到体积的关系，获得系统、合理的知识结构，形成多维的知识模块，建立上位的数学模型。

通过有效的问题情境，激活大脑，“勾住”旧知和经验，在矛盾冲突下经历抽象、推理、转化的过程，进行系统化思考，获得新的平衡，体现原汁数学的特征：从数学本质出发，学真数学，做真思考。

（作者单位：湖北武穴市师范附属小学）

（微信编辑：吴楠）

（全文请移步《中国教师》总第297期）

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