摩洛哥纹样（北非摩洛哥和突尼斯的罗马马赛克装饰的几何学）

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文对摩洛哥的瓦鲁比利斯(Volubilis)考古区和突尼斯的蕾吉雅遗址（Bulla Regia）考古区domūs发现的罗马马赛克进行了几何分析。在公元2-4世纪之间，罗马帝国的镶嵌艺术达到了特殊的几何装饰的精致程度。瓦鲁比利斯和蕾吉雅遗址马赛克的镶嵌只是文化宇宙的一个例子，几个世纪以来，它一直是罗马帝国生活方式和神话的见证，今天，如果得到适当利用，可以有助于弘扬地中海地区的文化遗产。

介绍

对瓦鲁比利斯和蕾吉雅遗址的罗马马赛克的几何研究是对地中海地区建筑文化特征的更广泛研究的单一方面的深入研究。特别是，本文讨论了北非的建筑、历史和文化背景中的例子，在这些例子中，几何方面恢复了其应有的功能。这项研究开始于近10年前，确定并代表正式的建筑和装饰，分析居住和住房质量的原则。

对北非马赛克的研究让我们理解了生活在罗马帝国时代的想法。它描述了古典时代家庭空间的欢愉和精神思考。该研究促使人们反思一个具有复杂身份的社会的高雅文化，这种社会依赖于充满多重交叉融合的结构化象征主义。具体来说，非洲罗马圆顶的马赛克艺术体现了几何和具象形式，其中图形和符号交织在动态对称中。几何地毯上的具象构成充满了希腊和罗马神话故事的参考。因此，神话成为一种美化、和谐和平衡理想的策略。

迦太基的巴尔多博物馆是突尼斯最重要的考古博物馆，拥有世界上最丰富的罗马马赛克藏品，并提供了一个极具价值的整体全景图。来自突尼斯所有地区的大型马赛克路面代表了基本的艺术和形象的见证，因为它们叙述了domus的日常生活。除了马赛克作品本身的艺术价值外，它们还为这些马赛克所在的地方提供了可靠代表（图1）。

图1 Domus Julii，公元5世纪，马赛克门，巴尔多博物馆，迦太基

对摩洛哥瓦鲁比利斯和突尼斯蕾吉雅遗址的房屋中发现的地面装饰的研究，从图像和几何装饰的角度，进一步调查了2010年至2015年期间在突尼斯和摩洛哥进行的一些调查的地面扫描（图2）。

图2突尼斯蕾吉雅遗址的一些房屋视图

通过调查获得的数据与考古资料进行了比较，在有差距或改动的地方，我们进行了重新设计，恢复了丢失的部分，以便能够阅读重建的几何文本。在此基础上，确定了有关研究的目标：落实有关地中海遗产的知识和特性，为地中海地区的马赛克文献建立联系和比较，并根据地点和主题加以实施(图3)。

图3 摩洛哥瓦卢比利斯，维纳斯游行之家，公元二世纪末或三世纪初。地板马赛克。摄影记录和马赛克装置的重新设计

下面的几何学研究集中在一些构成最重要的博物馆装饰的马赛克上。构成几个最重要的穹顶装饰的一部分。两处遗址的马赛克制作时间都在公元二世纪至四世纪之间。马赛克是用OPUS Tessellatum制作的。装饰图案的构图通常会自然地强调中心纹章，周围环绕着几何或花卉装饰(图4)。

图4 突尼斯蕾吉雅遗址，三叶草之家：从调查到马赛克的几何解读

这些马赛克可以被认为是非洲装饰传统的优秀范例，因为它们有着不同寻常的几何和比喻主题，也因为它们的光彩和多样的颜色。构图是按照一种循环的模式展开的：从一个均匀勾勒出房间周边的框架开始，定义了一个形象化的地毯，从它的外边缘开始，一直延伸到房间的中心，并引导我们的视线到马赛克地板的中心部分。一般来说，在这里有一个形象化的场景或标志来决定房间的名称或功能。在这一方面，神话提供了大部分的剧目：巴克斯、海王星、阿里阿德涅、半人马、四季、俄耳甫斯和大力神以各种形状(方形、矩形、六边形和八边形)的大奖章来表现。马赛克的纯材料方面不能与这种叙事或象征方面分开，因为在建筑中使用马赛克不仅仅具有装饰功能，而是源于使结构不透水的需要。因此，地板和墙壁上的小方格地毯源于防潮的技术需求。

研究方法

这项研究使用的方法是从对最先进技术的调查开始，并从获取度量数据开始。然后，在定义穹顶的形式和布局时，我们继续考虑原始的建筑外观。因此，提出了一种理想的重构原始几何构形的方法。最后，通过几何和纹理可视化的图形定义，对马赛克设计本身进行了分析。在这种情况下，图形分析是通过分离组成元素(框架、连接带、边框、字段和徽标(如果存在))和几何分析来进行的。马赛克的内容，除了几何图形，还包括神话灵感的描绘，这有助于提高马赛克地毯的艺术价值。

人们对框架元素和连接带进行了拆解和分析，以寻找重复出现的图案、几何矩阵和比例关系。通过对基本单元的识别，在可能的情况下，可以将饰带图案划分为7个可能的类型。框架和边框内的区域通常有各种类型的规则几何图案。因此，图形分析的重点是确定装饰模块、调节路径、几何矩阵，以及在有的地方确定平面周期性铺设过程的聚合规律。基本单元的识别以及重复和乘法的内在规律揭示了采用典型对称运动的构图模型：平移、反射、旋转和滑移——完美。从通常采用线性对称发展的框架分析开始，将研究重点放在内场和边缘更大、更复杂的表面上，试图识别和分类定义瓦卢比利斯和蕾吉雅遗址的罗马马赛克的平面晶群。为此，强调了模块、对称轴和矢量、基本单元的聚集模式以及对平面周期性镶嵌规则的任何例外。

几何思想的思辨

马赛克的几何解释使当代观察者能够欣赏罗马艺术家和工匠关于特定几何形状、装饰元素、颜色的深刻知识，其中:

…每一个单独的部分共同创造了这个视觉和艺术作品的独特特征，几个世纪以来，它在日常生活的理想化符号中留下了人类思想和传统的明显痕迹。珍贵的文化遗产马赛克代表的是来自古代世界的大部分艺术作品，应该因其非凡的魅力、组成和艺术技巧的美而被欣赏，在意大利，在罗马时代达到顶峰的是西西里时代的“Armerina广场”，但特别是在罗马晚期和拜占庭时代的Ravennate马赛克艺术(Cassano和Piermattei 2007：11)。

构成镶嵌空间的元素系统地产生于一种有序的思想，这种思想在回应一种严格的几何—数学方案时，同时展示了一种特定的特性和原始的思想。在一个相似的几何图形中，可以表达多个比喻性的表达，这是对同一几何结构的个人和象征性解释的结果。因此，几何超越了其特殊的美学维度，成为数学和思想、记忆和解释、测量和描述之间的中间地带，成为分析地球世界和天体的内在复杂性的主要工具，成为阅读和表现希腊人所说的alogos的关键：不可表达的东西。

穹顶的建筑充满了想象的意义，在这种情况下，让人想起亚里士多德的思想：“灵魂永远不会在没有形象的情况下思考”(德·阿尼玛三世，7,431)。没有一种思想形式不是指一个数字。此外，希腊人告诉我们，数字就是形式。因此，几何学被配置为一种避开情感欺骗的“理性形象”。在寻求一种带有减少的解释性过滤器的感知时，它将内容转移到意识中，并揭示了现实的褶皱中隐藏着什么。同时，几何学也是一种有效的符号表达方式，能够传达宇宙的原始概念。因此，它成为揭示自然的和谐和永恒规律的工具，也是将精神形式的无形转化为可见痕迹的一种手段。

装饰与对称：艺术的现状

欧文·琼斯(Owen Jones, 1856)为西方设计师做了一个广受欢迎的装饰性设计分类尝试。他的著作《装饰的法则》(The Grammar of Ornament)收集了来自世界各地的近300幅画框、中楣、马赛克和装饰品的图画，这些图画根据文化和起源的历史时期进行了分类。弗朗茨·迈耶(Franz Meyer，1894年)采用了一种不同的方法，他发表了一篇广泛的绘画评论，根据形式特征(几何动机、自然形式、人造物体、带子、自由装饰品等)进行了分组和分析。沿着基于形式特征的分类路线，阿奇博尔德·H·克里斯蒂(Archibald H.Christie)的作品也被包括在内，他的1910年图案设计(Christie 1969)超越了简单的形式分析，代表了根据几何属性对装饰图案进行分类的第一次尝试。浮雕和马赛克分类领域的决定性转折点来自俄罗斯数学家和矿物学家埃夫格拉夫·斯捷帕诺维奇·费多罗夫(Evgraf Stepanovic Fedorov，1885-1891)的研究，他确定了230个三维晶体群，并指出一些结构--特别是晶体--与散布在地中海地区的许多装饰品具有相同的性质。他第一个发现了平面对称晶体群的完整分类，确定了17个。这些研究为装饰造型的分析开辟了新的视角，并根据图案的对称性特征对图案进行了分类。

1924年，匈牙利数学家捷尔吉·波利亚和瑞士矿物学家保罗·尼格里可能没有意识到费多罗夫的早期研究，他们发表了一篇名为《埃比尼的水晶对称类比》的论文(尼格里和波利亚，1924)，其中包含了17个平面对称群的插图，对分类过程做出了决定性的贡献。这篇文章将成为这一课题研究的里程碑。1933年，乔治·D·伯克霍夫(George D.Birkhof)在《美学测量》(1933)中定义并说明了四种对称操作，强调了它在许多装饰图案中的存在。同样写于20世纪30年代的还有物理学家H·J·伍兹的巨大贡献。他对机织织物装饰的研究被分成几卷出版(1935年a，b，c，1936年)。他提出了首次对双色、一维和二维图案进行分类的完整尝试。他的工作在接下来的几十年里被忽视了，但今天他被认为是研究镶嵌的几何特征的参考点(Crowe和沃什伯恩1988：5)。

1952年，德国数学家、物理学家和哲学家赫尔曼·韦尔(Hermann Weyl)发表了一项关于艺术、植物学和其他纯科学中对称性概念的研究(1952年)。他从经典的对称概念出发，认为对称是比例的和谐，然后从它的各种表现形式来考虑它：反射对称、平移对称、旋转对称、装饰性对称和结晶性对称。几十年后，也就是20世纪80年代初，唐纳德·W·克罗(Donald W.Crowe)提出了一个确定17个平面晶体群的流程图，这是一个有趣的建议，在随后与多萝西·K·沃什伯恩(Dorothy K.沃什伯恩，Crowe和沃什伯恩，1987)合作进行的研究中得到了进一步的探索。1988年，这两位学者提出了一种分析图案的方法论，即用对称性来解释不同文化的绘画(Crowe和沃什伯恩，1988)。它将成为数学家、艺术历史学家、人类学家、考古学家和设计师的参考文本。

在Grünbaum和Shephard(1987)发表了一本详尽的纲要，成为研究图案和规则密铺的参考点。同样重要的还有匈牙利化学家伊什特万·哈尔吉泰(István Hargittai)的研究，他从分子建模的角度解决了这个问题，但也明显关注分子建模在艺术领域的应用(Hargittai1986,1989)。

上个世纪末在利兹大学进行的研究特别令人感兴趣。这些研究的方向是历史和文化方面(Hann 1992)，图案变化的可能性(Hann和Lin 1995)，以及机织物几何结构的分析(Hann和Scivier 2000a，b)。学者M.A.Hann和G.M.Thomson在20世纪90年代初进行了卓有成效的合作，他们提出了马赛克分类的流程图，该流程图以其极其简单和清晰而突出(Hann And Thomson 1992)。在最近的一份出版物中，他们转而提出了一份详尽的技术概要，主题是平面上和三维空间中的镶嵌(Hann and Thomson 2007a，b)。

马赛克及其几何图形&对称的概念

赫尔曼·韦尔对对称概念及其在艺术领域的应用做出了重要贡献。他在1952年首次出版的《对称》一书中指出：

对称是一个庞大的课题，在艺术和自然中意义重大。数学是其根源，很难找到更好的方法来证明数学智慧的工作(Weyl 2016: 145)。

因此，对称是表面上不可调和的学科之间的联系要素：数学的严谨性和自由的创造性表达之间的一个接触点（Gombrich 1979）。但是，对称是什么意思？正如我们所知，对称一词来自希腊语σύν（syn）"与 "和μέτρον（metron）"测量"。在古典希腊，它对应于今天的 "比例 "概念。赫尔曼·韦尔写道:

从某种意义上来说，对称意味着像匀称、平衡这样的东西，而对称意味着几个部分的那种一致，通过这种一致，它们整合成一个整体。美与对称密不可分(Weyl 2016: 3)。

这是我们习惯于适用于古典和文艺复兴艺术的概念。然而，这一含义在几个世纪以来已经发生了变化。

就我们的研究而言，18世纪末引入的对称的现代定义将是特别相关的。这将被理解为“对可能的变化免疫”。如果我们考虑到这一意义，我们可以说--正如赫尔曼·韦尔所说--“如果你能对一件事做些什么，使它看起来和以前一样，那么它就是对称的。”(引用自费曼1967：84)。更简单地说，我们可以说几何图形的对称性是一种保持图形不变的变换。今天，在通常的用法中，对称这个术语被理解为更有限的意义。这与“反射对称”不谋而合。事实上，这只考虑了一个变换，即相对于轴的反射。实际上，平面上允许获得与原始形状相同的形状(即等轴测)的对称运动有四个(图5)。

图5 平面的四个对称运动（等距）：平移、反射、滑移反射、旋转

——平移 沿着一条直线滑动一个形状。

——反射 在对称线上翻转一个形状。

——旋转（围绕一个中心）在这种情况下，考虑的旋转有四个：二倍（180°）；三倍（120°）；四倍（90°）；六倍（60°）。

——滑移反射 沿着同一反射线的反射和平移的组合。

通过在平面上对形状应用一个或多个对称操作，可以获得不同类型的饰带和马赛克。因此，所有的周期性装饰都可以追溯到一种或多种几何变换：响应精确数学定律但提供无限表达潜力的突变。例子可以在拜占庭图案、波斯装饰中找到，但特别是在格拉纳达阿尔罕布拉的摩尔镶嵌图案中，在那里可以找到平面镶嵌的所有可能类型。

单元和基本区域的识别

平面的周期覆盖以网状结构为特征。它由形状、大小和内容相同的设计单元组成，我们称之为单元。这些细胞的平移产生了周期性装饰图案的平面覆盖。网状网格的网格可以是各种几何形状:平行四边形、矩形、菱形和正方形(汉恩和汤姆逊2007a，b: 13，14)。不需要使用整个单元来实现平面的完全覆盖。只取一小部分就足够了，也就是说，可以应用一个或多个对称运动的最小设计单元。我们将这部分称为基本区域。因此，为了识别周期性平面装饰的类别，有必要识别基本区域、单位单元和介入平面周期性覆盖过程的对称变换。如果我们对一个单元应用一个或多个对称运算，就有可能得到两种不同类型的周期发展。

边框图案(饰带图案)

如果图案的发展只在一个方向上进行，最多可以生成七种不同类型的边框模式。每种类型都是通过现在国际公认的字母数字惯例来识别的。从古至今，所有的饰带都可以归入这七类。

全覆盖图案

如果图案的发展至少在两个独立且不平行的方向上进行，则生成的平面完全覆盖，没有间隙或重叠。一个或多个对称运动的应用可以产生最多17种不同类型的全覆盖图案，在数学术语中，这些图案是定义的平面晶体群。

饰带图案的分类

饰带(边框图案)的类别用四位字母数字代码(pxyz)表示，它表示各种类型的等距线的存在或不存在以及可能的特征(汉恩和汤姆森2007a，b: 10，11)。

可以根据流程图(图6)推导出饰带类别的标识。在此图表中，显示了插入到饰带定义中的对称操作的类型和数量。

图6饰带图案(边框)分类流程图

维纳斯的游行之家

我们现在将考虑在沃卢碧斯的维纳斯游行之家的一个房间的地板马赛克侧面发现的两个饰带(图7)。我们将从基本区域的几何分析和识别开始。它经历了180°的旋转。水平反射或垂直反射可应用于获得的图形。因此，我们构建了一个更大的具有双侧对称性的细胞(单位细胞)，我们将使用它来获得饰带。可以沿着饰带的纵轴对其进行更多平移或更多反射。按照流程图，我们将验证饰带属于pmm2类。

图7摩洛哥的瓦卢比利斯，维纳斯游行之家。地板马赛克，公元二世纪末或三世纪初。左图:马赛克重绘。右图:侧楣的分析

全覆盖图案的分类

全覆盖图案是通过在平面上沿至少两个独立的非平行方向平移来生成的。除了平移操作外，还可能存在其他对称运动。它们的组合将决定17个平面晶群之一的分类。对马赛克进行编码有多种方法。今天使用的国际公约已经超过了波利亚在1924年提出的命名法。目前使用最广泛的一种是在“国际X射线结晶学表格”(Henry和Lonsdale，1952年)中提出的。它表示一个四位字母数字代码(pxyz或cxyz)，表示单元格的类型、旋转的最高阶数以及沿两个固定方向存在的对称轴(反射和/或滑移反射)。5与浮雕一样，流程图也可用于马赛克的分类，但影响的变量更大。作为对图表提出的问题的回应，将有可能识别马赛克所属的平面晶体群的代码(图8)。在本文介绍的研究中，我们将这种分类过程应用于地中海地区，特别是北非地区的几个马赛克。

图8全覆盖图案分类流程图。由汉恩和汤姆逊(1992)开发的图表重绘

狩猎之家

第一项研究是对突尼斯蕾吉雅遗址的狩猎之家马赛克进行的。在对地板马赛克进行初步分析后，对门廊的一个侧翼的部分进行了检查（图9）。首先，确定了花叶的单位细胞。它是正方形的，但是位于它的对角线上，并且相对于穿过顶点的两个轴有两个反射对称。单元可以进一步沿其中轴分为四个部分。获得的最小图案将被称为基本区域。因此，单元可以由基本区域生成，在平面上应用一些对称运动:180°旋转(两倍)和滑动反射操作。沿着正交方向将单位元平移到它的边和对角线上，我们将得到平面的周期覆盖。围绕图9所示的中心旋转180°(两倍)可以获得相同的结果。如果我们应用滑动反射运动，我们得到的只是与单元侧面相邻的模块的覆盖范围。按照流程图，我们可以在不同的平面晶体学组中定义镶嵌属于哪一类:p2gg。

图9突尼斯蕾吉雅遗址，狩猎之家。地板马赛克，公元4世纪。门廊地板的分析

鱼之家

这种方法也被应用到鱼之家的其他蕾吉雅遗址马赛克上。用字母a和b表示的房间马赛克有着相似的对称布局。唯一的区别是，在房间b，单元格旋转45°(图10)。

图10 突尼斯蕾吉雅遗址，鱼之家。地板马赛克，公元4世纪，马赛克分析

在这两种情况下，基本区域都是直角三角形，占据了单位面积的1/8。后者由相同基本区域相对于倾斜45°的四个轴的90°旋转和反射产生。平面的周期性平铺是通过沿图示(图11、12)中确定的四个轴平移单元而获得的。但是同样的结果可以通过180(两重)和90(四重)的旋转来实现，或者也得益于反射和滑动反射的组合运动。根据流程图的指示，确定两种镶嵌的类型为:p4mm。

图11 突尼斯蕾吉雅遗址，鱼之屋。地板马赛克，公元四世纪。 房间的马赛克分析(a)

图12突尼斯蕾吉雅遗址，鱼之家。地板马赛克，公元4世纪

维纳斯的游行之家

让我们回到摩洛哥沃卢比利斯的维纳斯游行之家，特别是图7所示的房间。放在中央徽章上方的地板马赛克部分有一个六边形图案，中央的方块位于其对角线上。图13显示了它的一个细节。然而，所确定的单元格。具有平行四边形的形状。基本区域也是一个平行四边形，但它占据了单元格的一半。平面的覆盖范围可以通过沿四个方向平移后者来获得——如图13所示——或者围绕其中点和顶点旋转180°来实现。

图13摩洛哥的沃卢比利斯，维纳斯游行之家。地板马赛克，公元二世纪末或三世纪初。地板的一部分分析。

这幅马赛克的特殊之处在于引入了一个主题，打破了作品的周期性。它可以被同化为一种折线，它打破了连续的重复，似乎把一排六边形变成了棱柱。这是一种将三维感知的暗示引入马赛克的方法，但它可能也是一种技术，可以补偿马赛克的两部分，放置在两个相对的侧面，否则这两部分无法以连贯的方式连接在一起。马赛克的周期性部分所属的类别是P2。饰带属于pm11类。

平面的非周期密铺

维纳斯游行之家

在维纳斯游行之家的另一个房间里，我们发现了两个特别令人感兴趣的元素。第一个是带有正方形基本区域的马赛克的一部分。单元格也是方形的，是通过相对于两个正交轴的双反射获得的。马赛克被归类为p2mm(图14)。第二个元素更独特，是由两个对称的边带构成的，带有装饰图案，代表一系列由正方形和平行四边形组成的并排立方体(图15)。与先前分析的马赛克不同，这种马赛克不是由一个基本细胞的周期性重复产生的。如果我们把由三个立方体组成的群看作一个循环元素，它不会覆盖整个曲面。因此，除了正方形和平行四边形之外，还需要引入其他图形来覆盖剩余空间。这些以蓝色突出显示的图形是：一个矩形和两个等腰三角形。

图14维纳斯游行之家，马洛科，沃卢比利斯。地板马赛克，公元二世纪末或三世纪初。地板的一部分分析

图15摩洛哥的沃卢比利斯，维纳斯游行之家。地板马赛克，公元二世纪末或三世纪初。左：马赛克的重绘。右图：边框分析

这个过程让人想起罗杰·彭罗斯在1973年发现的平面的准周期镶嵌。它不采用周期性重复的晶格单元。彭罗斯使用各种不同但兼容的瓷砖。根据精确的聚合定律排列它们决定了整个表面的覆盖范围。显然，维纳斯游行之家的设计没有再现准周期模式。然而，它可能代表了一种尝试，尽管还不成熟，在没有周期对称性的帮助下解决平面覆盖的话题。同样在这种情况下，正如彭罗斯所做的那样，有必要使用具有不同但兼容形状的镶嵌。我们可以把这个解决方案看作是对大约18个世纪后将被更精确地用数学术语分析和理论化的事物的一个尚未解决的预期。

结论

这里展示的研究表明，马赛克装饰的每一个组成部分都有助于创造一个独特的特征，是视觉和艺术过程的一部分。分解和重组元素和重复聚集的方法允许在二维数据(包括地面覆盖物)和与上下文和环境相关的相关数据之间进行对话。对纪念性建筑的建筑分析，辅以几何分析，对几何设计具有很强的教育价值，并将建筑与其文化传统联系在一起。

通过“数字”来探索项目的几何规则，这种探索深深植根于希腊和罗马文化，一种遍及整个西方的古典文化。几何抽象是一种控制和验证的工具，满足了我们对美的渴望。马赛克所代表的非凡文化遗产，如果得到有效的分析和传播，可以成为古代具象艺术的几何和数学游戏，能够引发价值评估过程。它本身包含几何、数学、艺术和神话，揭示了古代世界的图形表达，由于在整个地中海盆地传播的艺术技术的知识和有效性，古代世界找到了永恒的形式。

参考文献

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28 Francesca Fatta, Domenico Mediati. Geometric References of Roman Mosaics in North Africa

青山不改，绿水长流，在下告退。

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