你不知道的五种常见数字（告诉你42这个数字有多神奇）

在1979年的畅销科幻小说《银河系漫游指南》的最后，超级计算机“深度思考”揭示了“生命、宇宙和一切”的“伟大问题”的答案是“42”。“深度思考”花了整整750万年来计算这个终极问题的答案。而知道答案后，负责获得该答案的角色很失望，因为这个答案没什么用。

然而“42”的确不同寻常。从历史到现实，再到数学家研究的难题，“42”都有着它非同寻常的地位。

“42”这个数字可能因为作家道格拉斯·亚当斯的《银河系漫游指南》而成为极客文化的一个组成部分。例如，如果你问你的搜索引擎“所有问题的答案是什么？”它很可能回答“42”。无论你使用谷歌、Qwant、Wolfram Alpha（专门回答数学问题的网站）还是聊天机器人Web应用Cleverbot，你都会得到相同的答案。

很多与互联网相关的企业也喜欢“42”，比如计算机培训机构“42网络”，它自2013年在法国成立以来，已在全球建立了超过15个校区。而在电影《蜘蛛侠:平行宇宙》中，数字42也以不同的形式出现。在维基百科的词条“42（数字）”中，你可以找到更多它出现的地方。

数字42还出现在一系列奇怪的历史巧合中，尽管其重要性可能不值得花时间去研究。例如:

• 在古埃及神话中对灵魂进行审判时，死者必须在42名法官面前宣布他们没有犯过42项罪；
• 马拉松的距离是42.195公里，尽管公元前490年，当古希腊信使费迪皮迪兹第一次完成这个距离时，公里还没有被定义；
• 古代西藏有42位统治者，公元前127年左右的聂赤赞普是第一位，而从公元836年到公元842年（即九世纪的42年）在位的朗达玛是最后一位；
• 《古腾堡圣经》是欧洲印刷的第一本书，每页42行，也被称为“42行圣经”。

面对“42”的神奇，确实有人提出了一个明显的问题：就是在亚当斯的书中使用42是否对作者有任何特殊的意义。亚当斯在一个论坛中回答了这个问题：“那是个笑话。它（答案）必须是一个数，一个普通的，较小的数，我选了这个。二进制表示，十三进制，西藏僧侣都是胡说八道。我坐在书桌前，凝视着花园，心想‘42号就行了’。我把它打了出来。故事结束了。”

“42”是个数字，最有资格谈论这个数字是否神奇的，可能是数学家。那么就让我们从数学的角度看看这个数字有什么特殊之处。

首先在二进制系统中，也就是以2为进制的系统中（我们日常使用的是10进制），42被写成101010，这很容易。顺便提一下，“42”的神奇也让一些粉丝在2010年10月10日（10/10/10）举行了一次聚会。

在亚当斯的回答中还提到了13进制表示。在13进制的表达中，我们需要十三个符号计数：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C。在这个进制下，6乘以9等于42。可能你会觉得这个结果很荒谬，因为我们都知道6×9 = 54。但这是在10进制的计算中。如果在以13为底的情况下，表示为42的数应该是(4 x 13) 2 = 54。

数字42有一系列有趣的数学特性。

这个数是2的前三次奇数幂的和，即2 2x2x2 2x2x2x2x2 = 42。事实上，从这个角度看，它的神奇不止于此。假设它是序列 a(n) 中的一个元素，其中 a(n)=前n个2的奇次幂之和。

那么

a(1)=2，a(2)=2 2x2，a(3)=2 2x2x2 2x2x2x2x2=42。

如果在二进制下表达，我们会发现：

a(1)=10，a(2)=1010，a(3)=101010，......，a(n)="10"重复出现n次。

该数列的通项公式为：

随着n的增加，这组数字的密度趋向于零，这意味着出现在这个数列中的数字，包括42，非常稀有。此外，你也可以换一种玩法：42是6的前两个非零整数幂的和，即6 6x6 = 42。那么你可以考虑另一个数列：

b(1)=6，b(2)=6 6x6，b(3)=6 6x6 6x6x6，......，b(n)=前n个6的幂方和。

这些数字的密度在n无穷大时也趋向于零。

明安图-卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名。但实际上，清朝数学家明安图（1692年－1763年）在其《割圜密率捷法》中最先发现这种特殊的数字，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。

这些数字极其罕见，比素数要少得多，前20个的明安图-卡塔兰数为：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190。

你看到了，42出现在这个序列中。

瑞士数学家莱昂哈德·欧拉首先以另一个方式提到了明安图-卡塔兰数，而这个解释要比纯粹的数字有趣的多。欧拉想知道通过连接顶点，一个（n 1）边凸多边形可以有多少种不同的方式被切割成三角形，而答案由第n个明安图-卡塔兰数给出。

凸6边形一共有14种欧拉的切割方式 (n=5)

组合数学给出了计算明安图-卡塔兰数的一般公式：

就像前面的两个数列一样，这类数的密度在n无穷大时为零。

明安图-卡塔兰数作为一个组合学数列，与很多计数有关系。比如卡塔兰本人是通过安排双括号写作规则发现的：假设给你n个左括弧，n个右括弧，那么它们有多少种方式可以组成符合写作规则的括号？答案就是第n 1个明安图-卡塔兰数。

例如，n=3，因为所有合乎规则的排列方式只有5种:

( ( ( ) ) )；( ) ( ) ( )； ( ( ) ) ( )； ( ( ) ( ) )； ( ) ( ( ) ).

实际数

“42”的另一个数学身份是它是一个“实际数”。一般一个正整数n称为实际数，如果所有小于n的正整数都可以表示为若干个n的不同真因子的和。

比如42，它的不同因子有1，2，3，6，7，14，21。而任何一个小于42的整数都可以表达成这些数字中的一些的和。比如：11=2 3 6，41=6 14 21。

早在十二、十三世纪，意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》中，在说明如何用埃及分数的和表示有理数时有用到实际数。但斐波那契没有正式的定义实际数。实际数一词最早是由拉马努金在1948年开始使用的，他希望可以找出有这类性质的数字。

此工作后来在1955年由斯图瓦特和谢尔宾斯基完成。利用正整数的素因数分解可以判断是否是实际数，所有2的幂及偶数的完全数都是实际数。

以下是实际数的列表：

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

然而迄今为止，没有一个简单的已知公式可以提供这个序列的第n个元素。

已发现实际数和素数有许多类似的特质，它也有对应哥德巴赫猜想及孪生素数猜想的定理：每一个偶数可以表示为二个实际数的和，以及存在无限多个相差2的实际数。梅尔菲证明了在斐波那契数列中存在无限多个实际数，而素数与之对应的问题，也就是是否存在无限多个斐波那契素数还没有被证明，但也还找不到反例。

三个整数立方和的问题

关于42这个数字的游戏有很多，但多年来一直认为这些组合游戏都是很简单的。然而最近，一个新的问题似乎不是那么容易，这就是“三个整数立方的和”的问题。似乎“42”比100以下的其它所有数字都更麻烦。

这个问题陈述如下：

什么整数 n 可以写成三个整数的立方的和？也就是给定n，寻找整数a、b、c，使得

作为一个实际问题，进行这种计算的困难在于，对于一个给定的 n，要考虑的三个可能的整数涉及到负整数。因此，并没有对a、b、c这三个数有所限制。有些答案可能会大得惊人，比如在2007年发现的156的答案:

而且，对于一些整数 n 并没有此类解。事实上，一个简单结论是，对于任何可以表示为（9m 4）或（9m 5）的所有整数n都是如此。例如4、5、13、14、22、23等等。这个证明并不复杂，需要使用模9计算，这相当于假设9=0，然后只操作0到8之间或-4到4之间的数字。我们可以看到，对9取模后，整数的立方是一定是-1、0或1。将这些数字中的任意三个数字相加，你不可能得到4或5。这个限制意味着三个整数的立方和永远不会是（9m 4）或（9m 5）这种形式的数字。

而事实上，即便知道一个整数n满足条件，求解a、b、c同样困难。

比如对于n = 1，有一个明显的答案：a=b=1，c=-1。但还有其它答案吗？有！

还有吗？还有！1936年，德国数学家库尔特·马勒给出了无限多个解：对于任意整数p，

这个证明很简单，展开合并同类项就可以了。

n = 2的无穷解集也是已知的。1908年，数学家A·S·布鲁索夫证明，对于任意整数p：

通过将这些方程的每一项乘以一个整数的立方，我们可以推导出：任意整数的立方以及其立方的两倍都有无穷多个解。

然而美好的事情结束了。截至2019年8月，n = 3时，已知的解只有两个:

那随之而来的一个问题是：对于任何 n ，是否至少有一个解呢？我们的42马上就要登场了。

计算机的寻找

为了回答这个问题，数学家们开始取一些较小的值1、2、3、6、7、8、9、10、11、12、15、16……并逐一检查。如果对这些数字都可以找到写成三个立方的和的办法，那或许可以猜测，对任何整数 n （不是形如n=9m 4或n=9m 5），都可以表达成三个整数立方的和。

现在，通过使用计算机，科学家已经求解了越来越多的数字。

2009年，采用了哈佛大学的诺姆·埃尔基斯提出的方法，德国数学家安德烈亚斯·斯蒂芬·埃尔森汉斯和约格·贾内尔对小于1000的正整数，尝试了所有绝对值小于1014的解。 他们的结论是：在小于1000的范围内，只有33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921和975仍未解决。而对于小于100的整数，仅剩下三个：33、42和74没有解决。

在2016年的一篇预印本论文中，荷兰特文特大学桑德·豪斯曼解决了74：

2019年，英格兰布里斯托大学的安德鲁·布克解决了33：

从那时起，“42”就称为最后一个小于100的不知道能否表示成三个整数立方的和的正整数。如果没有解决办法，那么“42”的这个数学意义可能给它的神奇找出了一个真正令人信服的理由：它将是第一个似乎可能有解决办法，但却没有找到解决办法的数字。

然而答案出现在2020年的预印本中，这是由麻省理工学院的布克和安德鲁·萨瑟兰共同进行了巨大计算后的结果。参与这项工作联网电脑计算时间相当于一台计算机连续工作100多万小时，而结果显示：

最近，数学家们还找到了165、795和906的答案。于是对于1000以下的整数，剩下的只有114、390、579、627、633、732、921和975。

针对这个研究方向，1992年牛津大学的罗杰·希思-布朗还提出了一个更强的猜想：如果一个正整数n可以表示为三个整数立方的和，那这种表达方式应该有无限多种。

这一难题似乎更加让人望而生畏，任何算法，无论多么聪明，都无法处理所有可能的情况。例如，在1936年，艾伦·图灵指出，没有一种算法能够解决所有可能的计算机程序的停机问题。但这里我们是在一个容易描述的，纯粹的数学领域。如果我们能证明这种无限性，那将是一件了不起的事。

数字“42”是困难的，但它不是最后一步；数字“42”是神奇的，但它仅仅是浩瀚神奇的数学海洋中的一滴水！

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