三角形三边关系怎么来的（三角形四边形与圆拉上关系）

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一、选择题

1. 答案：A。解析：如图，由“正方形的外接圆半径为2”可得OB＝2，∠OBC＝45°，由切线性质可得∠OCB＝90°，所以△OBC为等腰直角三角形，所以OC＝OB

2. 考点MC：切线的性质；M6：圆内接四边形的性质．分析由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=35°，由弦切角定理得出∠MCA=∠ABC=55°，由三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，即可求出∠ACD的度数．

3. 分析连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．

4. 分析由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC ∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．

5. 分析根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．

6. 分析延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．

7. 考点M6：圆内接四边形的性质．分析根据四点共圆的性质得：∠GBC=∠ADC=50°，由垂径定理得：，则∠DBC=2∠EAD=80°．

8. 分析连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．点评本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．

9. 分析连接、，的延长线交于，如图，利用内心的性质得平分，平分，再根据等边三角形的性质得，，则，，然后利用正切的定义计算出即可．点评本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．

10. 分析利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝x，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r 12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．点评本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．

二、填空题

11. 分析： ①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，的BC．点评： 本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．

12. 　60°　．考点M6：圆内接四边形的性质；M5：圆周角定理．分析先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．点评本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．

13. 分析根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．

14. 分析连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=40°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．

15. 分析先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．

16. 分析连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．

17. 分析先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD=∠ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD的度数．

18. 分析利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．解答解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A ∠DCB=180°，又∵∠DCE ∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=n°故答案为：n

19. 分析如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝5，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC＝OB＝5．本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．

20. 分析作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．

21. 分析先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）求解．点评本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为（其中a、b为直角边，c为斜边）．

22. 分析根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．

三、解答题

23. 分析（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则＝，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH＝CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）连接BD、OB，如图，先证明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE＝6，再利用正弦定义求出∠BDH＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，则∠BOC＝120°，然后根据弧长公式计算优弧的长．点评本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的判定和弧长公式．

24. 分析（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD﹣DI即可．点评本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了圆周角定理和三角形的外心．

25. 解：（1）如图所示：（2）∵AC=1，AB=2，∴∠B=30°，∠A=60°，∠BOC=120°，

26. 考点圆内接四边形的性质；正方形的性质．分析（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算．点评本题考查的是正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．

27. 考点三角形的内切圆与内心．分析（1）由已知△ABC的三边a=3，b=12，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦﹣秦九韶公式求解即可；（2）由三角形的面积=lr，计算即可．

28. 考点圆内接四边形的性质；弧长的计算．分析（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．

29. 试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理

30. 考点MA：三角形的外接圆与外心；KW：等腰直角三角形．分析（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC=PM，PB=PN，可得PC2 PB2=2（PM2 PN2）=2（AN2 PN2）=2PA2=PE2=22=4。