钟摆快慢和摆线长短有关吗（严格同频的钟摆长啥样）

作者：大神团·冯伟

作者介绍：冯伟，新东方超尖生计划授课老师，清华硕士。全国初中数学、物理、化学三项竞赛一等奖，中国西部数学奥林匹克银牌，北京市大学生数学竞赛一等奖，全国大学生物理竞赛一等奖，清华大学优秀硕士毕业生。

什么是摆线?

说起摆线，可能同学们从它的另外两个别名中更容易产生直观的印象: 旋轮线和最速降线。

顾名思义，将一个圆沿直线无滑动的滚动时，圆周上一定点形成的轨迹即为旋轮线。一般称该圆为旋轮线的母圆。

然而，回到我们今天的主题，作为这一曲线更为人熟知的大名——摆线，究竟是什么含义呢，难道跟摆钟有关系?

没错! 今天我们就来探究一下摆线和摆钟的关系。

摆钟的发明

这要从历史说起。

1581 年，意大利科学家伽利略 (Galileo) 有一次在教堂注意到头顶的吊灯在来回摆动，于是他利用自己的心跳当计时器，发现吊灯的摆动周期是恒定的，与摆动幅度无关。

这一现象的发现促使他开始对单摆进行研究，希望能利用单摆的这一等时性质来制作走时精密的摆钟。

然而他的愿望并没有实现。

最终，摆钟的发明由 1656 年荷兰科学家克里斯蒂安.惠更斯 (Christiaan Huygens) 完成。

其实，伽利略的观察并不精确。

单摆的等时性仅在小角度摆幅下近似成立，摆幅越大，摆动周期也就越长。这就要求摆钟的设计应将单摆的摆幅限定在一个恒定值下，否则由于摩擦力以及空气阻力的影响，普通单摆的摆幅会逐渐缩小，从而影响钟表的走时精度。

摆着摆着就乱了

最终，天才的惠更斯利用擒纵机构稳定了摆幅，解决了因摆幅不恒定导致走时不精确这一问题，然而他并没有止步于此，他在思考另一个更完美的方案: 能不能造一个摆动周期与摆幅完全无关的钟摆呢？

擒纵机构将钟摆摆幅保持恒定

摆线登场

先将问题简单转化一下：通过受力分析，我们容易看出，长度为l的细绳悬挂重物形成的单摆摆动，和不计摩擦，仅重力做功下重物在半径l的圆弧线上往复运动，是完全等效的。

物理中常用的等效转化思想

惠更斯便想先找到这样一条曲线：当重物受重力作用在该曲线上往复运动时，运动周期和运动幅度完全没有关系。然后再将这样的运动转化成摆动。

相信大家已经猜到了，没错，这种具有精确等时性的曲线就是摆线！

摆线的精确等时性

摆线的等时性

下面我们就来详细说说为什么摆线具有这种等时性。

小球在摆线上的运动

可等效为圆周上匀角速度质点

在摆线上的的水平投影

渐伸线与渐屈线

有了摆线的等时性，接下来我们要做的就是将重物在摆线上的运动转化成摆动了。

为了实现这一目标，需要先来做些知识上的铺垫：

对于曲线AB，我们设想在其上附一根柔软不可伸缩的丝线，然后固定丝线一端，另一端拉紧并逐步剥离伸展，这时丝线端点就形成了一条轨迹曲线， 我们称之为原曲线AB的渐伸线。

当然，如果丝线长度短一些，从C点剥离伸展，这样也能画出一条渐伸线。

因此，平滑曲线具有无穷多条渐伸线。

从渐伸线的做法中我们不难看出，渐伸线的法线是原曲线的切线。并且弧AB的长等于切线 (在A点的) 在切点和通过B点的渐伸线中间的线段的长。

我们已经知道了渐伸线的做法，那如果给了渐伸线，如何作他的原曲线呢？

我们可以利用渐伸线的性质，做这条曲线的若干条法线，这些法线形成的包络称之为渐屈线。容易看出，渐屈线就是我们要找的原曲线。

这里同学们不用担心渐屈线的存在性问题，因为数学家已经证明了，除直线和圆以外，任何一条平滑的曲线都具有唯一的渐屈线，不过这里涉及的数学知识较深，我们这里就不过多展开了。

法线包络形成渐屈线

摆线的渐屈线

回到我们的主题上来。

对于摆线上运动的重物，它的支撑力始终是摆线的法线方向，如要将其转化成摆动，细绳也应始终处于摆线的法线方向，这让惠更斯想到了渐伸线和渐屈线的概念。

我们在细绳两端放置一对凸版，让凸版外表面曲线的渐伸线是摆线，这样小球摆动的轨迹不就恰好是摆线了？

从而，我们只需要找到摆线的渐屈线就可以了。非常巧合的是，这条渐屈线也是摆线！

下面我们来说明这一点：

摆线摆钟

惠更斯利用摆线的精确等时性以及摆线的渐伸渐屈线仍是摆线的性质，最终造出了他心中"完美"摆钟。

它长下图这样。

惠更斯发明的摆线摆钟，你能从中找到摆线吗?

同学们，现在你们了解摆线和摆钟之间的关系了吗? 历史上摆线确实曾在摆钟里出现过呢，但是为什么后来的摆钟并没有沿用这种设计呢？

主要原因是，工程应用与理论研究还是有很大差别的。

惠更斯发明的摆线摆钟本意是想修正普通单摆摆钟周期不恒定导致的误差，但是实际上影响摆钟周期精度的因素很多，在小摆幅下单摆的误差影响只占很小一部分，并且由于摆线摆钟两侧凸板和摆绳有摩擦力，造成了更大的误差，走时反而更不精确了。

因而这种摆线摆钟并没有普及开来。不过他的科学研究成果，仍是后人的一笔宝贵的财富。

参考资料：别尔曼。摆线[M]。中国青年出版社，1956。

作者介绍：冯伟，新东方超尖生计划授课老师，清华硕士。全国初中数学、物理、化学三项竞赛一等奖，中国西部数学奥林匹克银牌，北京市大学生数学竞赛一等奖，全国大学生物理竞赛一等奖，清华大学优秀硕士毕业生。新东方智慧学堂（zhihuixuetang_xdf），与精英为伍，成就未来精英。

,