线与平面的二倍角公式（20525高中数学）

求“二面角”与“点到平面的距离”问题是很多学生感到头痛的。事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式。

定理：如下图，若锐二面角的大小为，点A为平面

内一点，若点A到二面角棱CD的距离为

，点A到平面的距离AH=d，则有。

说明：中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。其中是指二面角的大小，d表示点A到平面的距离，m表示点A到二面角棱CD的距离。值得指出的是：可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。其优点在于应用它并不强求作出经过点A的二面角的平面角∠ABH，而只需已知点A到二面角棱的距离，与二面角大小，即可求解点A到平面的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小。这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。还要注意，当已知点A到平面的距离d与点A到二面角棱CD的距离m求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有

；若所求二面角为钝二面角，则

。

下面举例说明该公式在解题中的应用。

例1. 如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。

（1）求点P到平面ABCD的距离；

（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。

分析：如上图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，即PO为点P到平面ABCD距离。第（1）问要求解距离PO，只需求出点P到二面角P-AD-O的棱AD的距离，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）问要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出点C到二面角A-PB-C棱PB的距离及点C到半平面APB的距离即可。

解：（1）如上图，取AD的中点E，连结PE。由题意，PE⊥AD，即

。又二面角P-AD-O与二面角P-AD-B互补，所以二面角P-AD-O的大小为60°，即

。于是由公式知：点P到平面ABCD的距离为

。

（2）设所求二面角A-PB-C的大小为，点C到平面PAB的距离为d。

连接BE，则BE⊥AD（三垂线定理），AD⊥平面PEB，因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即点C到二面角棱PB的距离为2，即m=2。

又因为PE=BE=，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由余弦定理可求得PB=3。

取PB的中点F，连结AF，因为PA=AB=2，则AF⊥PB，

，所以

，即

。又易求得

，点P到平面ABC的距离：

。根据等体积法

，有

，即

，所以

，代入公式

。又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C为钝二面角，所以

小结：对于这个高考试题，许多考生反映第（2）问求解困难，失分较为严重。究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。

利用公式求解，省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证，其优势显而易见。

例2. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。

分析：欲求点B到平面GEF的距离，直接求解较困难。为此我们令平面GEF作为某二面角的一个半平面，当然二面角的另一个半平面即为平面BEF，为此我们只需找到该二面角的平面角及点B到二面角棱EF的距离即可。

解：如下图，过B作BP⊥EF，交EF的延长线于P，连结AC交EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。

又

，这就是点B到二面角C-EF-G棱EF的距离

因为GC=2，

，所以

，GH=

，在RtΔGCH中，

，于是由得所求点B到平面GEF的距离：

。

例3. 已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。求顶点C与侧面A₁ABB₁的距离。分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC的垂线A₁D，找到了底面的垂线A₁D，就可根据三垂线定理，作出侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的平面角A₁DE，求出二面角A₁-AB-C的平面角大小，就可依据公式找到点D到平面A₁ABB₁的距离d，进而根据D为AC中点，也就不难求出点C到侧面A₁ABB₁的距离。

解：如上图，在侧面A₁ACC₁内，作A₁D⊥AC，垂足为D，因为AA₁=A₁C，所以D为AC的中点。又因为AA₁⊥A₁C，

，A₁D=AD=。因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，其交线为AC，所以A₁D⊥面ABC。过D作DE⊥AB，垂足为E，连接A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB（三垂线定理），所以∠A₁ED为侧面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角。由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中点，BC=2，所以DE=1，

，故∠A₁ED=60°。于是由公式知，点D到侧面A₁ABB₁的距离

。又点D为AC的中点，故而点C到侧面A₁ABB₁的距离为点D到侧面A₁ABB₁距离的2倍，于是知点C到侧面A₁ABB₁的距离为。小结：本例先通过求侧面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的大小，进而利用公式求出点D到侧面A₁ABB₁的距离，再利用中点D的性质巧妙地求得C到侧面A₁ABB₁的距离，充分体现了转化与化归的思想方法在解题中的灵活运用。

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