立体几何公理及应用（思想在立体几何中的应用）

利用“补形”思想这一桥梁，可以使数学的思维方法更活跃、更简捷，启发学生的直觉思维，培养思维的灵活性、独创性。利用“补形”思想可以把不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体；残缺形体补成完整形体.使思维更灵活、知识结构更完整、更充实、方法更加完美。

下面谈谈“补形”思想在解题中的具体应用。

1. 把不规则形体补成规则形体

例 1，1个12cm×12cm的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成、两片，如图1所示，把这6片粘在一个正六边形的外面，如图2所示，然后折成多面体，如图3，试求其体积。

分析： 如图3，将立体图形从局部考虑，分割为一个正六棱锥S-ABCDEF与3个三棱锥S-PAB，S-QCD，S-REF的体积之和，通过一个一个的计算可获得其解;

但将局部所求几何体，通过补形，补成一个正方体，如图4，则所求几何体的体积是正方体体积的一半，即

2．把不熟悉形体补成熟悉形体

例2, 如图所示，有一块长为3a，宽为a的矩形铅皮，沿着虚线的折痕折叠成一个“粽子形”封闭几何体，则它的体积是( )。

A．　a/6；　　　B．a/3；　　　　C．　a/2；　　　　D．a。

分析：此题其棱柱的底面不能看成是等边三角形.因为与在折叠前后垂直关系不变，象这样的非标准图形用“补”的方法进行转化求体积.

解：将其补成三棱柱（如图（2）），知三棱柱的体积为：

“粽子形“封闭几何体的体积为

故选B.

3．把一种几何体补成另一种几何体

例3，已知：四面体各面都是边长为13、14、15的全等三角形，

(1)求三棱锥的体积；

(2)求顶点D到底面的距离.

解： (1)如图甲，设AB=13，AC=15，将图甲中的三棱锥补成如图乙所示的长方体，由此，三棱锥的体积就转化成长方体的体积与四个相等的三棱锥的体积之差.

设长方体的三边长分别为x，y，z; 则：

解之得：

而

(2)设D到底面的距离为h，则：

即

例4, 求棱长为a的正四面体的对棱距离.

解： 设正四面体为ABCD，将其补成正方体AC'BD'A'CB'D，使正四面体内接其中，则正方体的棱长即为正四面体对棱之间的距离.

∴棱长为a的正四面体对棱距离是

例5 , 已知四面体S-ABC内接于球，且SA=a，SB=b，SC=c，三侧棱SA，SB，SC两两垂直，求球的表面积.

分析：由于四面体三侧棱两两垂直，所以可将其补成球的内接长方体，则该长方体的对角线长即为球的直径.

解：将四面体补成球的内接长方体，则长方体的对角线长为

所以球的直径为：

则

4．把残缺形体补成完整形体

例6, 如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1。求多面体的体积。

解：将多面体ABCDE补成如图所示的直三棱柱ABC A'DC'，由已知条件不难得出该多面体的体积为直三棱柱体积的一半。故

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