数学复数的练习题（复数外传第四届数学文化征文）

本文为“2022年第四届数学文化征文活动

复数外传

作者 : 管彤

作品编号：038

曾经，我上过一节不太一样的数学课。那是一节和复数有关的课，课题名字到现在我都记得，叫复数外传。

复数的产生并不像整数，无理数等数一样。大部分数都是在生活中或是在数学证明中出现的，但复数却完全是在解方程的实践过程中解出来的。老师花了相当长的一段时间跟我们讲了一段从卡当开始到费拉里的数学历史，讲述了从一元一次方程到一元四次方程求根公式的出现。具体内容我记得不是很清楚了，但我记得老师当时经常会提到一个词，那就是“伟大背后的黑暗”。关于这段数学史的发展，它所创造出的成就是伟大的，但是这些数学家之间的纠葛也的确很黑暗。

我印象最深的故事是关于塔塔利亚和卡当的。塔塔利亚天资聪颖，但他患有口吃。他发现了三次方程的解法，在与弗里奥的比赛中，他又成功发现了一般三次方程的解法。但他并没有急着发表，他有更加伟大的计划。但在此时，他遇到了卡当，他仿佛看到了第二个自己，这让他没有顾忌的将自己的秘诀告诉了卡当。没想到的是，卡当转头就以自己的名义发表了，从此名声大振。他在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了一元三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。

虽说卡当这件事做的不太光彩，但不可否认的是，卡当是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成

但事实上，他自己对这个答案也感到费解。他认为负数的平方根是没有意义的，因此这个算式也是没有意义的。他将这类数称之为“诡辩量”。

与卡当同时代的数学家邦贝利在利用卡当公式求解一元三次方程时，得到了另一种三次方程根的表达式，在这个表达式中，包含着负数的平方根。邦贝利很快认识到，这类数既不能看做正数，也不能看做负数。他认为这种根像是人造的，而并非是真实的。

随后，他对这类数的运算法则进行了讨论，建立了虚数的运算法则，值得一提的是，他得到了虚数单位的平方为-1的结论。

又经过了100多年，笛卡尔将这类数命名为虚数，也就是“想象中的数”。从此，虚数才流传开来。

到了18世纪，欧拉用词语“imaginary”的首字母“”来表示虚数单位，并规定“”。1748年，欧拉首次在发表了对复数的发展具有重要意义的欧拉公式：

欧拉用这个公式处理了大量数学问题，像运用实数一般有效地运用复数，使数学家们对复数产生了一定的信心。这时，已经有许多数学家在广泛的使用复数，但数学界仍对复数的意义不甚了解。

由于复数与传统数学的概念相差巨大，人们并未完全承认虚数的存在。真正使人们认识到复数的，是维塞尔，阿尔冈，高斯等人对复数的几何表示。

德国数学家阿甘得在1806年公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数 。像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年，用实数组 代表复数 ，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法（见图1）。至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

图1

经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

正是这种被看作是空洞的符号游戏的复数，却完全服从算术上的所有规律，并能完美地表达平面上的点，是一种把平面上的图形之间的复杂关系变成数的语言的很理想的工具，且很奇妙地推出了种种真实的结果。

复数的接受过程艰难曲折，人们敢于打破陈规思维创造出虚数，探索出一片数学史上的一片新天地。这种伟大转折点值得我们每一个人深入了解。

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