三角函数摩天轮问题解题技巧（用三角函数可以轻易解决）

这是百度上看到的几何难题。看起来很不好做。三角形内有个正方形，求正方形的面积。

几何难题

让我们静下心来思考一下，三角形能给我们哪些已知条件？正方形能给我们哪些已知条件？另外注意到FB=FC，线段相等给图形旋转带来方便。

把△CFG绕F点旋转180°到△BFD，此时BD∥AC，设∠A=α，则∠ABD=180°-α。设正方形边长=x，则ED=EG=√2x。我们对△AEG和△BDE运用余弦定理，得到：

2x²=7² 9²-2×7×9cosα，

2x²=6² 2²-2×6×2cos(180-α)。

解方程得：cosα=3/5。x²=136/5。

这样就得到了正方形的面积。这个方法简单。很多几何题用三角函数来解比较方便，可以参看我的其他几篇文章。

作辅助线

再来思考如何用几何方法解题。

既然旋转了，就干脆用旋转后的等价几何题来证明一下。首先画出图形如下，题目变为：

四边形ABDG是梯形，AG∥BD，AG=9，BD=2，AB=13。F是DG的中点，E在AB上，BE=6。四边形EFGH是正方形，求正方形的面积。

等价变形后的几何题

解题思考过程：

已知条件为梯形、正方形、线段中点、线段长度。为了找出正方形边长与已知线段长度之间的关系，作梯形的中位线FM，延长GH交AB于N，发现△EFM∽△NGA。设正方形边长为x，用相似三角形比例关系算出，HN=7x/11，EN=68/11，△EHN是Rt△，由勾股定理得到方程x² (7x/11)²=(68/11)²。解得x²=136/5。

总结一下：将三角形通过旋转得到一个等价梯形，用相似三角形边长成比例得到相关数据，用勾股定理列出方程解得正方形的面积。

做完后再看老师的解法。尤其是自己花了很多时间研究之后，想知道别人有什么好的做法。

老师的解法是作BP∥FG，FG是三角形中位线，也是用相似三角形和勾股定理解方程，道理是相似的。不用旋转，直接作辅助线。很好的解法，学有所获。

老师的解法

此时心中感到无比欣慰。因为是自己研究所得，我给出的解法一定是独一无二的。我与老师的解法形不同而意同，这也是数学的魅力所在。

当几何题比较难解的时候，找到它的等价几何题应该是一个不错的方法，我有很多这方面的尝试。

这里是轻松简单学数学，用最简方法，学最难数学。轻松简单不是凭空而来，而是长期研究思考的结果。