几何旋转图形题（图形旋转是证明线段角度的）

本专题我们精选了初中数学联赛几何类题目一共100题，非常适合日常的练习，拓展思维。如果你成功完成了这套题，那想必你的几何功力会极大提升，也非常欢迎各位题友参与讨论，分享你的精彩解法。

题目：如图已知，在ABC 三边上，向外做三角形 ABR 、BCP 、CAQ ，使∠CBP ＝∠CAQ ＝ 45， ∠BCP ＝∠ACQ ＝30，∠ABR ＝∠BAR ＝15.

求证： RQ与 RP 垂直且相等.

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

题目分析：

观察已知条件，可以直接得到的推论是 ,

解法一：观察结论，一个思路是，将PR看作是QR顺时针旋转90度，那么可以尝试构造一个 AQR顺时针旋转90度的三角形，结论转化为求证三角形全等。

尝试做HRAR，且HR=AR，连接AH,BH,PH,得到等腰直角三角形AHR和等边三角形BHR

由30度，45度角可以得到三角形ABH和三角形CAQ、CBP都相似

接着尝试从结论倒推，要证明

现在只有一条边相等，QR边相等和相等是要证的结论，所以只能从另外一条边和两个角去寻找。

对于角PHR和角QAR来说，一个等于，另一个等于

所以

同时我们还看到

这就挖掘出另一对相似三角形PBH和CBA

而要证明相似，我们还需要另一个边的条件：

这个比例在三角形ABH和三角形CBP相似的推论中已经得到了。

到此，我们只差一个三角形全等的边或者角的条件了。

从的条件，得到AC/BC=PH/PB

对比最初的条件：AQ/PB=AC/BC

顺利得到三角形全等所需的最后一个条件：AQ=PH

已知条件和结论会师。

解法二：为了证明垂直，从360度的圆周角减去所有相邻角的思路去尝试；

为了证明线段等长，从相似三角形的等比代换的思路去尝试。

以AB为边向下作等边三角形，连接DR和CD

得到一连串的相似三角形：

而,

加上对应边成比例，得到,

所以 , ,

因此：QR/CD=AR/AD=BR/BD=PR/CD

得到QR=PR

得证

总结：图形旋转，是证明线段等长和构成某个角度的“高级”证法。解法二的剑走偏锋，更多只能依赖于构造正三角形的特殊作用和对相似三角形边长等比的熟练手感了。

你做对了吗？如果你有更好的方法，欢迎分享。

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