立体几何坐标系诀窍（数学第七章立体几何与空间坐标系）

空间向量运用：直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：　　若A、B是直线上的任意两点，则向量AB为直线的一个方向向量；与向量AB平行的任意非零向量也是直线的方向向量.⑵．平面的法向量：　　若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面α，记作

，如果

，那么向量n叫做平面α的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为

③求出平面内两个不共线向量的坐标

④根据法向量定义建立方程组

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量.

1、 用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行 设直线l1,l2的方向向量分别是a,b，则要证明l1//l2，只需证明a∥b，即

　即：两直线平行或重合<=>两直线的方向向量共线。⑵线面平行①设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l//α，只需证明

，即au=0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面α的法向量为，平面的法向量为，要证α//β，只需证u//v，即证

即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。⑵线面垂直①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即

②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若

即：直线与平面垂直<=>直线的方向向量与平面的法向量共线<=>直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证. 即：两平面垂直<=>两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角⑴求异面直线所成的角已知a,b为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，a,b所成的角为，则

⑵求直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做该斜线和这个平面所成的角②求法：

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则θ为的余角或φ的补角的余角.即有：