蒙氏数学法则（困扰近三十年的布尔函数敏感度猜想）

1992年，布尔函数敏感度猜想被提出。这成为了理论计算机科学近三十年来最重要的开放性问题之一。近日，来自Emory大学计算机与数学科学系的华人教授黄皓，用两页纸轻松证明了困扰理论计算机领域数十年的问题。

组成计算机的电路实际上是“与”“或”“非”逻辑电路的组合，多年来，计算机科学家已经开发出许多方法来测量给定布尔函数的复杂性。

科学家们发现，关于布尔函数的度量措施都适用于一个统一的框架，只有一个复杂性指标似乎不合适：“灵敏度”。1992年，耶路撒冷希伯来大学的Noam Nisan和现在罗格斯大学的Mario Szegedy 推测，“灵敏度”的确适合这一框架，但没人能证明这一点。“我想说，这可能是布尔函数研究中一个悬而未决的问题。”Servedio说。

现在，Emory大学的数学家黄皓用一个巧妙但简单的两页论证，证明了灵敏度猜想，这个论点关于立方体上的点的组合。

法国国家科学研究中心的Claire Mathieu在接受Skype采访时曾评价它为：“这只是一颗美丽的珍珠。”

黄皓是谁？这位华人科学家是怎么解开30年来一直困扰计算机科学家的问题呢？

一次偶然与猜想的邂逅

2012年末，在受访美国普林斯顿高等研究院期间，黄先生在与数学家Michael Saks 共进午餐时听说了敏感性猜想，黄先生是博士后研究员。他立刻被这个猜想的简洁和优雅所吸引。“从那一刻开始，我开始沉迷于思考它。”他说。

黄将敏感性猜想添加到他感兴趣问题的“秘密列表”中，每当他学习新的数学工具时，他都会考虑它是否有帮助。“每次我发表新论文后，我都会回到这个问题，”他说。“当然，我会在一段时间后放弃，并解决一些更现实的问题。”

正如其他研究团体一样，黄知道，如果数学家可以证明一个关于不同维度立方体上的点集合比较容易陈述的猜想，那么灵敏度猜想就可以得到解决。从n 个0和1 的字符串到n维立方体上的点有一种自然的映射关系。

在2013年，黄开始认为理解这个问题的最佳途径可能是通过标准网络来表示网络，该矩阵跟踪哪些点连接，然后检查一组称为矩阵特征值的数字。五年来，他一直在重新审视这个想法，没有成功。

“但至少考虑它可以帮助我很快入睡。”他在Aaronson的博客文章中评论道。

然后在2018年，黄发现了使用一个有200年历史的称为Cauchy交错定理的数学，它将矩阵的特征值与子矩阵的特征值联系起来，使其成为研究立方体与立方体之间关系的完美工具。黄决定要求国家科学基金会拨款，以进一步探讨这一想法。

上个月，当他坐在马德里的一家酒店写下他的拨款建议时，他突然意识到他可以通过改变他的矩阵中某些数字的符号来推动这种方法的完成。通过这种方式，他能够证明在n维立方体中超过一半点的任何集合中，将存在某些与其他点的至少 相关的点,灵敏度猜想 也从这个结果中被证明。

“美丽的珍珠”

被法国科学家评为“美丽的珍珠”，这一猜想的证明思路是如何实现的呢？

先从“灵敏度”谈起，“灵敏度”是一种度量，捕获输入字符串中的信息如何影响输出位改变，换句话说，布尔函数的“灵敏度”跟踪翻转单个输入位改变输出位的可能性。

举个例子，想象一下，你正在填写银行贷款申请中的一系列Yes/No问题（问卷调查）。完成后，银行家将对您的结果进行评分，并告诉您是否有资格获得贷款。这个过程是一个布尔函数：你的答案是输入位，而银行家的决定是输出位。

如果你的申请被拒绝，你可能想知道你是否可以通过单一问题的选择而银行的预判结果 ，比如你口袋里面真的没有多少钱时，在收入超过50,000美元那一栏你打了勾，如果这个谎言会导致预判结果，计算机科学家说布尔函数对该特定位的值“敏感”。比方说，如果有七种不同的谎言，你可以说它们会分别翻转结果，那么对于你的贷款资料，布尔函数的灵敏度是7。

为了可视化计算机电路对位翻转错误的敏感程度，我们可以将其n个输入位表示为n维立方体的坐标，例如，四个两位字符串00,01,10和11对应于二维平面中正方形的四个角：（0,0）、（0,1）、（1,0）和（1,1）。同样，八个三位字符串对应于三维立方体的八个角，以此类推到更高的维度。反过来，布尔函数可以被认为是用两种不同颜色着色这些角的规则，如果最终输出为1则将立方体的一角标为蓝色，反之，则标为红色。

输入字符串0,1,1的简单布尔功能可对应到下图立方体的一角，如果翻转第一个字符，我们可以发现对“OR”“AND”（或与）电路的输出没有什么影响，相反，如果你翻转第三位，对于这个操作来说，输出是敏感的，标记为红色。

证明灵敏度猜想可以简化为回答关于不同维度的立方体的简单问题：如果你选择任何超过在立方体的一半角落并将它们染成红色，是否总有一些红点与许多其他红点相连？（这里，通过“连接”，我们的意思是这两个点共享立方体的一个外边缘，而不是跨越对角线。）

根据我们的布尔函数对立方体的每个角进行着色。给定输入字符串的敏感位数由其相关角和另一种不同颜色的角之间的连接数捕获，电路的整体灵敏度定义为任何输入字符串中最大位数的敏感位。

下面例子中，点（0,1,1）和（0,0,1）蓝红色点之间的连接，灵敏度为1；点（0,1,1）和（0,1,0）蓝红色点之间的连接，灵敏度为0；点（1,0,1）和（1,0,0）蓝红色点之间的连接，灵敏度为0；点（1,0,1）和（0,0,1）蓝红色点之间的连接，灵敏度为2。

取最大值，因此该布尔函数的灵敏度为2。

灵敏度猜想有什么用？

证明灵敏度猜想有什么用呢？

这种猜想可以应用在许多实例中 ，例如，医生可能希望在达到诊断之前尽可能少地为患者发送测试，或者机器学习专家可能希望算法在分类之前尽可能少地检查对象的特征。

其他措施包括寻找将布尔函数编写为数学表达式的最简单方法，或者计算银行家要向老板展示多少答案以证明他们已做出正确的贷款决策，其中银行家可以同时询问几个问题的“叠加”；甚至还有量子物理学版本的查询复杂性，弄清楚该测量与其他复杂性测量的关系如何帮助研究人员理解量子算法的局限性。

黄的结果甚至超过了证明灵敏度猜想所必需的结果，这种发现应该会产生关于复杂性度量的新见解。最重要的是，尽管如此，黄的结果仍然令人担心，在复杂的世界中，敏感性是否可能是一些奇怪的异常值，还需要后续进一步的研究。