高中导数求最值(用导数法求解中点弦问题)
利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题,是高中数学繁难问题的一种通用解题方法。
1. 利用导数求解切线方程
利用导数的几何意义,把二次曲线方程看作:
是x的函数,利用复合函数求导法则,可轻松求出切线的斜率。如对圆
,两边对x求导,则有
,所以在切点(m,n)处的切线斜率
-
。从而求出切线方程是
。类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程。
2. 利用求导法求解中点弦问题
如果以圆、椭圆等图形的中心为中心,按比例缩小图形,则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切(如图1)。此时缩小的曲线方程如
,两边对x求导,可发现并不改变原方程求导的结果。因此,利用导数法求中点弦的斜率,就是
在中点处的值。
图1
应用
1. 求中点弦方程
例1. 已知双曲线方程
,求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;(2)过点B(1,1),能否作直线,使与所给双曲线交于P、Q两点,且点B是弦PQ的中点?这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由。
解:对
两边求导,得
(1)以A(2,1)为中点的弦的斜率
,所以所求中点弦所在直线方程为
(2)以B(1,1)为中点的弦的斜率
,所以所求中点弦所在直线方程为
即
。
但与双曲线方程联立消去y得
,无实根。因此直线与双曲线无交点,所以满足条件的直线不存在。
说明:(1)求出的方程只是满足了必要性,还必须验证其充分性,即所求直线与双曲线确实有两个交点。
2. 证明与中点弦有关的不等式
例2. 已知椭圆
,A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P
,求证:
。
证明:设AB的中点是P(m,n),则中点P在椭圆内,
所以
①
对椭圆
两边求导
有
,得
故中点弦AB的斜率
,所以线段AB的垂直平分线斜率满足:
,得
。
代入①式得。
3. 求与中点弦有关的轨迹问题
例3. 已知定点A(0,2),椭圆,过A任意引直线与椭圆交于两点P、Q,求线段PQ中点的轨迹方程。
解:设线段PQ的中点为M(x,y)。
对椭圆两边求导,得
所以
的斜率为
。又
,
所以
。
化简即得
(在椭圆内的部分)。
4. 求与中点弦有关的对称问题
例4. 求抛物线上不存在关于直线
对称的两点,求m的取值范围。
解:(1)当
时,曲线上不存在关于直线对称的两点。
(2)当m≠0时,假设存在关于直线对称的两点,设这两点的中点为A(a,b),则A必在抛物线内,所以
。①
对两边求导,得
,所以中点弦的斜率为
。 ②
将点A(a,b)坐标代入得
③
由①②③得
即
又
恒成立,
所以
故
时满足题意。
综上(1)(2),m取值范围是
。
▍ 来源:综合网络
▍ 编辑:Wordwuli「2820092099」
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