如何用振动方程求简谐运动的周期（最简单的机械振动）

简谐运动是最基本也最简单的机械振动当某物体进行简谐运动时，物体所受的回复力跟位移成正比(所以判断一个运动是否是简谐运动常用的方法是看其回复力是不是等于-kx，注意负号表示方向，而k只是一个常数，不一定是劲度系数)，并且总是指向平衡位置它是一种由自身系统性质决定的周期性运动（如单摆运动和弹簧振子运动）其方程为x=Acos( ωt φ)因此我们可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动为什么是正弦或者余弦关系呢？书本给出了一个很好的理解方法，那就是把时间作为一个数轴，位移作为另一个数轴，从一维振动中匀速拉一个二维图像注意是匀速拉，今天小编就来聊一聊关于如何用振动方程求简谐运动的周期?接下来我们就一起去研究一下吧!

如何用振动方程求简谐运动的周期

简谐运动是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的回复力跟位移成正比(所以判断一个运动是否是简谐运动常用的方法是看其回复力是不是等于-kx，注意负号表示方向，而k只是一个常数，不一定是劲度系数)，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动（如单摆运动和弹簧振子运动）。其方程为x=Acos( ωt φ)。因此我们可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。为什么是正弦或者余弦关系呢？书本给出了一个很好的理解方法，那就是把时间作为一个数轴，位移作为另一个数轴，从一维振动中匀速拉一个二维图像。注意是匀速拉。

接下来我们看一下描述简谐运动的特征量有哪些？

一是振幅，它反应了振动的强度，它是由初始条件决定的。用A表示。

二是周期、频率、圆频率。物体经过一次全振动所经历的时间叫作振动的周期，用T表示。单位时间内物体所作的完全振动次数叫作频率，用f表示。我们都知道T与f成倒数。2π秒内所作的完全振动次数叫作圆频率（角频率），即上述运动方程中的ω。类似于我们以前所学的角速度。所以ω=2π/T。简谐运动的圆频率是由系统的力学性质所决定的，在弹簧振子模型中，圆频率公式如下ω=根号下(k/m)，其中，k和m分别表示弹簧的劲度系数和振子的质量。具体推导见后面。

三是相位与初相位。我们把确定物体任意时刻运动状态的物理量称为相位（或位相），用φ表示，表达式φ=ωt φ0，其中φ0 是t=0时的相位，又称为初相位。这个概念可能不太好理解。我们换一种方法。一个竖直面内做匀速圆周运动的物体在水平面上的投影就是简谐运动。而相位说白了就是物体与圆心的连线和横轴或者纵轴的夹角。初相位就是物体初始位置与圆心的连线和横轴或者纵轴的夹角。

四是简谐运动的速度与加速度。简谐运动是一种变速与变加速运动。其速度与加速度可以由简谐运动方程（位移-时间方程）通过微分得到。

速度：v=-ωAsin( ωt φ)

加速度：a=-ω²Acos( ωt φ)

五是简谐运动的能量，动能Ek=½mω²A²sin²( ωt φ)，因为ω=根号下(k/m)，所以Ek=½kA²sin²( ωt φ)，势能Ep=½kA²cos²( ωt φ)，机械能E=½kA²。

接下来我们证明一下，弹簧振子模型圆频率，弹簧振子所受的回复力是弹力，根据胡克定律知f=-kx=ma=-mω²Acos( ωt φ)，又因为x=Acos( ωt φ)，所以mω²=k。

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