一个人的归属感在哪儿(各种错综复杂的位置关系)
理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
·公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内.
·公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
·公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
·公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
·定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
知识点详解一、平面的基本性质及应用
1.平面的基本性质
二、空间两直线的位置关系
1.空间两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式:
(1)从有无公共点的角度分类:
【注意】异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点.
2.异面直线所成的角
(1)异面直线所成角的定义
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.
三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系
1.直线与平面、平面与平面位置关系的分类
(1)直线和平面位置关系的分类
①按公共点个数分类:
(2)平面和平面位置关系的分类
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1)两个平面平行——没有公共点;
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示
3.常用结论
(1)唯一性定理
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)异面直线的判定方法
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
考向分析考向一 平面的基本性质及应用
(1)证明点共线问题,就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要依据是公理3.常用方法有:
①首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上;
②选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上.
(2)证明三线共点问题,一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条直线也过该点.常结合公理3,证明该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第三条直线)上,从而证明三线共点.
(3)证明点或线共面问题,主要有两种方法:
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;
②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
考向二 空间线面位置关系的判断
两条直线位置关系判断的策略:
(1)异面直线的判定常用到的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.
(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型,以正方体为主线,直观感知并认识空间点、线、面的位置关系,准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直.
(3)对于异面直线的条数问题,可以根据异面直线的定义逐一排查.
考向三 异面直线所成的角
求异面直线所成的角的常见策略:
(1)求异面直线所成的角常用平移法.
平移法有三种类型,利用图中已有的平行线平移,利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移,利用补形平移.
(2)求异面直线所成角的步骤
①一作:即根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
②二证:即证明作出的角是异面直线所成的角;
③三求:解三角形,求出作出的角.
如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
(3)判定空间两条直线是异面直线的方法
①判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
②反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
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