通俗解释一下微积分（帮你理解微积分）

大神绕道，这里是小白科普，大名鼎鼎的微积分到底是什么，这里我尝试给大家一个简单的理解方式。

微积分按照历史书的知识，应该是牛顿和莱布尼兹分别独立完成的发明，至于怎么理解，这里不做过多解释。

微积分，其实可细分为两部分，微分和积分

• 微分：把一件事物分解成微小的部分，至于多小呢，就是无限小，这一过程就叫微分，基础就是极限学，因为要分解达到无限接近于零
• 积分：把无限小的部分累加起来，积少成多的意思

注意：这里并不是专业的定义，只是一种形象的比喻，大家不必纠结，微积分可以直接理解为分解和累加，是两个相反的过程，但是一般解决问题需要结合起来使用

圆，就是到圆心距离等于定长的点的集合

古代定义圆

圆的周长都知道怎么计算，其实圆周率就是用来干这件事情的，直径乘以圆周率就等于周长，那面积是怎么计算呢？

既然要用微积分，其实大多数人想到了，和小学学习圆的时候证明是一样的，把圆分解成许多小部分，各个部分面积都计算出来，再加在一起就是圆的面积了，那我们能计算哪些面积呢，能准确计算的，比如三角形，矩形，正方形，这些都是几何学的基础，面积计算很简单，那么问题来了，圆如何去分解出三角形或者矩形呢？

小学证明是把圆分解成小扇形，随着分解数量越来越多，扇形就可以近似看成三角形，然后求出面积，累加，最后得出结果，我们这里介绍另外一种分解方式，圆环

如图，分解为多个圆环，每个圆环有内径和外径，如果分解的足够小，那么内径和外径是相等的，我们把圆环剪断，展开，那就是是一个很窄的矩形，矩形面积都知道，以下以r代表圆环内径，dr代表圆环宽度，则矩形面积就是：圆环面积=矩形面积=矩形长x矩形宽=圆环内径周长x圆环内半径，结果如下图

注意，上面式子中，r代表圆环半径，内径外径相同，就不区分了，同时dr代表圆环宽度，是一个无限小的量，正是我们微分的变量，和r意义不一样，可以认为r是无限多个dr组成

微分过程完成了，我们求出了部分的面积，接下来就是积分了，把所有的面积加起来；

mma里面依次输入：ESC，dintt，ESC，就输入了一个积分符号，如下图：

积分符号

把矩形面积填入中间的积分部分：

积分主体

其中r为变量，然后我们填入r的范围，这里我们假设圆半径为R：

积分范围

圆环面积从圆心积分到圆外侧，也就是r从0到R的范围，这样就是积分过程了，Shift Enter，看结果：

证明完毕

看到了熟悉的公式，过程是没有问题的，这就是一个使用微积分解决问题的过程，你理解了吗？

问题是死的，人是活的，圆环这种分解方式并不是死的，还有许多其他分解方式，这里介绍另外一种，分解成小扇形：

如上图，这个我们按照角度分解，每个扇形当角度无限小的时候可以当作三角形来处理，三角形的高就是半径R，底边长度就是扇形弧长等于弧度乘以半径，于是积分如下：

积分范围是360度，利用三角形面积公式，得出结果是一样的。