数的认识三个层次（数的性质秒杀）

数的性质是计算问题的一个子模块，这一类的题目在行测里属于难度适中的题目。对于数的性质的理解和掌握，是“秒杀”能够实现的前提。

数的性质，涉及整除、公约数与公倍数、余数、奇偶性与质合性和数学这5个小模块。

1. 整除问题

数的整除性质被广泛应用在运算里，一般只考两个方面：

一般情况下，题目会给出某个N位数能被M个数整除的已知条件，求解这个N位数。

整除的概念：如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，称a能被b整除(或者说b能整除a)。

数a除以数b(b≠0)，商是整数或者有限小数而没有余数，称a能被b除尽(或者说b能除尽a)。

整除是除尽的一种。（整除和除尽的区别：“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。）

整除的性质

A、如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。

如：36，54能同时被9整除，则它们的和90、差18也能被9整除。

B、如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。

如：63能同时被3、7整除，则63也能被3和7的最小公倍数21整除。

C、如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。

如：58能被29整除，则58乘以任意整数的积，例如58×5，也能被29整除。

D、平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。

E、若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

F、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

整除的特征

常见数字整除的数字特性如下：

实际生活中很多事物的数量是以整数为基础来计量的，研究整数性质的学问叫做数论，数论是纯粹数学的分支之一，被高斯誉为“数学中的皇冠”。数论的很多知识点，如三个连续的自然数之和(积)能被3整除；1能整除任何整数，0能被任何非零整数整除；懂得这些性质，就可能帮助我们在行测的考场上更快地解出题目。

2. 公约数与公倍数问题

在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型：

核心概念

(1)约数与倍数

若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。

(2)公约数与最大公约数

几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。

公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。

(3)公倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。

考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。

方法论

(1)两个数最大公约数和最小公倍数

一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。

A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。

B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。

如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。

24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12;24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3) =72。

(2)三个数最大公约数和最小公倍数

A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数(除1外)，然后把所有共同的质因数连乘起来。

B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。

如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。

拓展

(1)两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。

(2)互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。

(3)利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数(除l外)即可;而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。

(4)多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。

3. 余数问题

被除数=除数×商 余数(都是正整数)

公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件，计算出余数。一般只有两种类型；一个被除数，多个除数；多个被除数，一个除数：

(1)一个被除数，多个除数

A、基本形式——中国剩余定理

中国剩余定理，又称孙子定理。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法，是数论中一个重要定理。

原型：

《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”。即：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。

基本解法——层层推进法：

以上题为例，满足除以3余2的最小数为2;

在2的基础上每次加3，直到满足除以5余3，这个最小的数为8;

在8的基础上每次加3、5的最小公倍数15，直到满足除以7余2，这个最小的数为23。

所以满足条件的最小自然数为23，而3、5、7的最小公倍数为105，故满足条件的数可表示为105n 23(n=0，1，2，…)。

B、特殊形式——余同、和同、差同

特殊形式的口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。余同、和同、差同，使用要求如下：

(2)多个被除数，一个除数

A、同余

两个整数a、b除以自然数m(m>1)，所得余数相同，则称整数a、b对自然数m同余，记做( cmod m)。例如：23除以5的余数是3，18除以5的余数也是3，则称23与18对于5同余。 同余的特殊性质：在同余的情况下(a-b)必能被m整除，所得的商为两数商之差。例如：，那么。

B、不同余

两个整数a、b除以自然数m(m>1)，所得余数不相同，则称整数a、b对自然数m不同余。

同余和不同余的三个重要的性质——可加性，可减性，可乘性。

对于同一个除数m，两个数和的余数等于余数的和，两个数差的余数等于余数的差，两个数积的余数等于余数的积。

拓展

(1)一个数被2(或5)除得到的余数，就是其末一位数字被2(或5)除得到的余数。

(2)一个数被4(或25)除得到的余数，就是其末两位数字被4(或25)除得到的余数。

(3)一个数被8(或125)除得到的余数，就是其末三位数字被8(或125)除得到的余数。

(4)一个数被3(或9)除得到的余数，就是其各位数字之和被3(或9)除得到的余数。

4. 奇偶性与质合性问题

公务员考试中，利用奇偶性与质合性解决问题，一般都是在具体情境中结合其他知识一起考查的，很少单独考查，一般只考两种类型:

核心概念

(1)奇偶性

奇数：不能被2整除的整数。

偶数：能被2整除的整数(需特别注意的是：0是偶数)

奇数和偶数的运算规律：

奇数±奇数=偶数；奇数×奇数=奇数;

偶数±偶数=偶数；偶数×偶数=偶数;

奇数±偶数=奇数；奇数×偶数=偶数。

(2)质合性

质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整

数叫做质数(质数也称素数)，如2、3、5、7、11、13……

合数：一个正整数除了能被l和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，

这样的正整数叫做合数，如4、6、8、9、10……

1既不是质数也不是合数。

拓展

(1)两个连续自然数之和(或差)必为奇数。

(2)两个连续自然数之积必为偶数。

(3)乘方运算后，数字的奇偶性保持不变。

如：a为奇数(偶数)，则an (n为正整数)为奇数(偶数)。

(4)2是唯一一个为偶数的质数。

如果两个质数的和(或差)是奇数，那么其中必有一个数是2;

如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个数是2。

5. 数字问题

数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大。通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少。公务员考试中数学问题一般只有两种类型：

(1)数字的拆分

是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等。

(2)数字的排列与位数关系

解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解。

如需要本章节的思维导图，请在“简铭学园”公众号回复“数的性质”。

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