老黄什么时候学会跳舞了（老黄高等数学探究）

#创作挑战赛#

老黄这次要推导的是“正割正弦正整数幂积，或余弦余割正整数幂积，可化为正切幂或余切幂的不定积分公式”。是啊！这个内容描述起来就是特别不方便。即求：∫(secx)^m*(sinx)^ndx和∫(cosx)^m*(cscx)^ndx在|m-n|=2k时的积分公式。

它们是基于余弦和正弦幂积的不定积分递推公式来推导的。

上面两个用黑色字体表示的是指数递减的递推公式，是教材提供的，在《老黄学高数》系列学习视频第273讲有证明；下面两个用蓝色字体表示的是指数递增的递推公式，是老黄自己推导出来的，在第275讲有分享。

一般来说利用递推公式，可以推导出最终形式的积分公式。但是这两组递推公式，却可以推出一套积分公式，包括这篇文章要讲的这两个积分公式。其中正割正弦幂积，其实就是余弦的负指数的情形，而余弦余割幂积，则是正弦的负指数的情形。

在此之前，老黄已经推导出了一部分情况的公式，其中对这两个公式有帮助的就是“正割乘正弦幂的不定积分公式和余弦幂乘余割的不定积分公式”。因为这两个公式可以看作是正割或余割的指数为1的特殊形式。

为了使公式的证明更加严谨，这里需要规定m,n都是大于1的正整数。且两者不相等。如果相等，就可以直接写成正切幂或余切幂的不定积分了。那是已经介绍过的情形了。而这里又有两种情形，一种是当m,n相差一个偶数的时候，另一种是当m,n相差一个奇数的时候，两种情形推导公式的方式是完全不同的。这篇文章先介绍两者相差一个偶数的情形。就算是这样，也依然有两种情况，一种是正割或余割的指数较小的情况；一种是正弦或余弦的指数较小的情况。

先求正割正弦幂积的不定积分，当正弦的指数比较大的时候，即m<n时，我们可以利用正弦指数的递减公式，一直递推到两个指数相等时，就可能化为含有正切幂不定积分的公式形式。而正切幂的不定积分公式，是《老黄学高数》第272讲分享的内容，将公式嵌套进去，就可以了。

这里最关键的是确定各项的系数，以及系数的符号性质。一方面要依靠自己的数学能力，另一方面也要通过尝试错误，进行调整。因此后面的例题检验就显得特别重要。因为不是每个人的都有很强的数学能力，比如老黄的数学能力就特别糟糕，根本不可能归纳出这些公式，因此老黄就通过不断尝试错误，不断调整，最后就把公式给归纳出来了。你说这样的公式，让别人告诉你是怎么来的，那几乎是不可能的。必须要靠自己去理解，去摸索，去探究哦。

下面来一道例题：例1：求∫(secx)^3*(sinx)^7dx.

概括起来，解决的过程就相当简单，不外乎：引用公式，代入参数，嵌套公式，展开，就搞定了。所有工作都在前面推导公式中完成了。不过要保证过程全部正确，一旦出现一点点错误，就会造成极大的麻烦。有时候要花老黄一整个晚上，才能把这个错误排查出来，做出修改哦。

本文的例题答案老黄都已检验过了。检验过程比求解过程，那可要难上百倍哦。不信你可以自己检验一下试试。

再看m>n的情况，这回就要把-m变大了，所以要用到升幂的递推公式。因为正割的指数m，余弦的指数就是-m，要使两个指数的绝对值相等，就必须将-m递增。

最后不定积分I(2k-m,n)前面的系数有一个因数0，所以并不会出现正切幂的不定积分，而是只得到一个含有k项的求和公式。这个公式显然要比前面那个公式简便得多，因此老黄在想，上面的情形能不能也把它化成这种简便的形式，不过老黄试过了，至少老黄暂时是做不到的。

接下来再看一道例题：例2：求∫(secx)^7*(sinx)^3dx.

反正有公式，一切就变得特别简单。关键不要出错，出了错老黄得确保正确，就特别累人。

至于余弦余割幂积的不定积分公式的推导，道理同上，老黄这里就只给出推导过程的图片形式，请大家自行脑补。先是余弦的指数更大的情况：

结合一道例题学习：例3：求∫(cosx)^8*(cscx)^4dx.

然后是余割的指数更大的情况：

还是结合一道例题：例4：求∫(cosx)^2*(cscx)^8dx.

这样就形成了两组公式如下：

由于secxsinx=tanx, cosxcscx=cotx，所以从这两组公式还可以推出“正切与正弦，或者正割与正切的幂积不定积分公式”，以及“余弦与余切，或者余切与余割的幂积不定积分公式”。这些公式本身是统一的，所以这类问题都可以转化成“正割正弦幂积积分公式”和“余弦余割幂积积分公式”来解决。

有人说，我们现在用的是前人的研究成果，真正困难的部分是公式的推导，那都被前人做了，我们只要运用公式，就很简单。没错，所以老黄也要参与到公式的推导中去。这样才能体会到数学的真谛和乐趣。有人说这样没用，那是打击不了老黄的。