老黄什么时候学会跳舞了(老黄高等数学探究)

#创作挑战赛#

老黄这次要推导的是“正割正弦正整数幂积,或余弦余割正整数幂积,可化为正切幂或余切幂的不定积分公式”。是啊!这个内容描述起来就是特别不方便。即求:∫(secx)^m*(sinx)^ndx和∫(cosx)^m*(cscx)^ndx在|m-n|=2k时的积分公式。

老黄什么时候学会跳舞了(老黄高等数学探究)(1)

它们是基于余弦和正弦幂积的不定积分递推公式来推导的。

老黄什么时候学会跳舞了(老黄高等数学探究)(2)

上面两个用黑色字体表示的是指数递减的递推公式,是教材提供的,在《老黄学高数》系列学习视频第273讲有证明;下面两个用蓝色字体表示的是指数递增的递推公式,是老黄自己推导出来的,在第275讲有分享。

一般来说利用递推公式,可以推导出最终形式的积分公式。但是这两组递推公式,却可以推出一套积分公式,包括这篇文章要讲的这两个积分公式。其中正割正弦幂积,其实就是余弦的负指数的情形,而余弦余割幂积,则是正弦的负指数的情形。

在此之前,老黄已经推导出了一部分情况的公式,其中对这两个公式有帮助的就是“正割乘正弦幂的不定积分公式和余弦幂乘余割的不定积分公式”。因为这两个公式可以看作是正割或余割的指数为1的特殊形式。

老黄什么时候学会跳舞了(老黄高等数学探究)(3)

为了使公式的证明更加严谨,这里需要规定m,n都是大于1的正整数。且两者不相等。如果相等,就可以直接写成正切幂或余切幂的不定积分了。那是已经介绍过的情形了。而这里又有两种情形,一种是当m,n相差一个偶数的时候,另一种是当m,n相差一个奇数的时候,两种情形推导公式的方式是完全不同的。这篇文章先介绍两者相差一个偶数的情形。就算是这样,也依然有两种情况,一种是正割或余割的指数较小的情况;一种是正弦或余弦的指数较小的情况。

先求正割正弦幂积的不定积分,当正弦的指数比较大的时候,即m<n时,我们可以利用正弦指数的递减公式,一直递推到两个指数相等时,就可能化为含有正切幂不定积分的公式形式。而正切幂的不定积分公式,是《老黄学高数》第272讲分享的内容,将公式嵌套进去,就可以了。

老黄什么时候学会跳舞了(老黄高等数学探究)(4)

这里最关键的是确定各项的系数,以及系数的符号性质。一方面要依靠自己的数学能力,另一方面也要通过尝试错误,进行调整。因此后面的例题检验就显得特别重要。因为不是每个人的都有很强的数学能力,比如老黄的数学能力就特别糟糕,根本不可能归纳出这些公式,因此老黄就通过不断尝试错误,不断调整,最后就把公式给归纳出来了。你说这样的公式,让别人告诉你是怎么来的,那几乎是不可能的。必须要靠自己去理解,去摸索,去探究哦。

下面来一道例题:例1:求∫(secx)^3*(sinx)^7dx.

概括起来,解决的过程就相当简单,不外乎:引用公式,代入参数,嵌套公式,展开,就搞定了。所有工作都在前面推导公式中完成了。不过要保证过程全部正确,一旦出现一点点错误,就会造成极大的麻烦。有时候要花老黄一整个晚上,才能把这个错误排查出来,做出修改哦。

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本文的例题答案老黄都已检验过了。检验过程比求解过程,那可要难上百倍哦。不信你可以自己检验一下试试。

再看m>n的情况,这回就要把-m变大了,所以要用到升幂的递推公式。因为正割的指数m,余弦的指数就是-m,要使两个指数的绝对值相等,就必须将-m递增。

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最后不定积分I(2k-m,n)前面的系数有一个因数0,所以并不会出现正切幂的不定积分,而是只得到一个含有k项的求和公式。这个公式显然要比前面那个公式简便得多,因此老黄在想,上面的情形能不能也把它化成这种简便的形式,不过老黄试过了,至少老黄暂时是做不到的。

接下来再看一道例题:例2:求∫(secx)^7*(sinx)^3dx.

反正有公式,一切就变得特别简单。关键不要出错,出了错老黄得确保正确,就特别累人。

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至于余弦余割幂积的不定积分公式的推导,道理同上,老黄这里就只给出推导过程的图片形式,请大家自行脑补。先是余弦的指数更大的情况:

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结合一道例题学习:例3:求∫(cosx)^8*(cscx)^4dx.

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然后是余割的指数更大的情况:

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还是结合一道例题:例4:求∫(cosx)^2*(cscx)^8dx.

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这样就形成了两组公式如下:

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由于secxsinx=tanx, cosxcscx=cotx,所以从这两组公式还可以推出“正切与正弦,或者正割与正切的幂积不定积分公式”,以及“余弦与余切,或者余切与余割的幂积不定积分公式”。这些公式本身是统一的,所以这类问题都可以转化成“正割正弦幂积积分公式”和“余弦余割幂积积分公式”来解决。

有人说,我们现在用的是前人的研究成果,真正困难的部分是公式的推导,那都被前人做了,我们只要运用公式,就很简单。没错,所以老黄也要参与到公式的推导中去。这样才能体会到数学的真谛和乐趣。有人说这样没用,那是打击不了老黄的。

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