关于中考圆的公式（三角函数与圆的完美遇见）

三角函数，最本质的数学问题就是角与线段架起桥梁；而角是圆的主要元素之一。这样三角函数与圆有了无缝的对接，也使得它们在中考试题中也有了完美的遇见。

今天笔者就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔：

三角函数暗号：欲求值，则一定身处R△中，否则等价代换（以可求相等的角未替代）；

圆暗号：要么创Rt△环境，要么谨记圆周角等（同弧或等弧所对圆周角）。

策略一、利用圆的有关性质构造直角三角形。

如果圆中存在直径，则可根据直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而为使用三角函数创造条件.垂径定理和切线的性质也是圆中构造直角的重要依据.

1．（2019秋•昌平区期末）如图，A，B，C是⊙O上的点，sinA＝4/5，半径为5，求BC的长．

【解析】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1

∵OB＝OC，且OD⊥BC，

∴∠BOD＝∠COD＝1/2∠BOC，

∵∠A＝1/2∠BOC，

∴∠BOD＝∠A，sinA＝sin∠BOD＝4/5，

∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝BD/OB=4/5，

∵OB＝5，∴BD/5=4/5，BD＝4，

∵BD＝CD，∴BC＝8．

方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．

∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，

∵∠BDC＝∠A，∴sinA＝sin∠BDC＝4/5，

∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝BC/BD=4/5．

∵OB＝5，BD＝10，∴BC/10=4/5，∴BC＝8．

2．（2019秋•乐陵市期末）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC，垂足为E

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若BC＝6，⊙O的直径为5，求DE的长及cosC的值．

【分析】本题考查了切线的判定，直角三角形性质，等腰三角形的性质的应用，注意：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

【解答】（1）证明：连接OD．

∵D是BC的中点，O是AB的中点，

∴OD∥AC，∴∠CED＝∠ODE，

∵DE⊥AC，∴∠CED＝∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，

∵⊙O过BC的中点D，∴BD＝CD，

∴AC＝AB＝5，CD＝BD＝3，∴AD＝4，

∴DE＝CD •AD/AC=12/5，cosC＝CD/AC=3/5．

3．（2020•兴文县模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的"好点"．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的"好点"．

（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个"好点"．

（2）△ABC中，BC＝9，tanB＝4/3，tanC＝2/3，点D是BC边上的"好点"，求线段BD的长．

（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D．

①求证：点H是△BCD中CD边上的"好点"．

②若⊙O的半径为9，∠ABD＝90°，OH＝6，请直接写出CH/DH的值．

【分析】考查了圆的综合题，涉及到的知识点由垂径定理，圆周角定理，勾股定理以及三角形中位线定理，难点是掌握三角形某边的"好点"的定义，只要掌握了该定义，此题迎刃而解，难度不是很大

（1）根据题意知，CD2＝AD•BD，据此作图；

（2）作AE⊥BC于点E，由tanB＝4/3，tanC＝2/3可利用方程求得BE＝3，CE＝6，AE＝4，设DE＝a，

需要分两种情况解答：①点D在点E左侧；②点D在点E右侧，根据三角形该边的"好点"的定义得到：AD2＝BD•CD，将相关线段的长度代入，列出方程，通过解方程求得答案；

（3）①首先证得△AHC∽△DHB，则该相似三角形的对应边成比例：AH/DH=CH/BH，即AH•BH＝CH•DH，然后利用等量代换推知BH2＝CH•DH，即点H是△BCD中CD边上的"好点"．

②CH/DH=5/21．理由：如答图4，连接AD，BD．根据圆周角定理推知AD是直径，故AD＝18．然后由已知条件推知：OH是△ABD的中位线，则BD＝2OH＝12．在直角△ABD和直角△BDH中，由勾股定理求得线段AB和DH的长度，由①知，BH2＝CH•DH，代入求得CH＝5√21/7；将CH、DH的长度代入所求的式子求值即可．

【解答】：（1）如答图1，当CD⊥AB或点D是AB的中点是，CD2＝AD•BD；

（2）作AE⊥BC于点E，由tanB＝4/3，tanC＝2/3可设AE＝4x，

则BE＝3x，CE＝6x，

∴BC＝9x＝9，∴x＝1，

∴BE＝3，CE＝6，AE＝4，

设DE＝a，

∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴BH2＝CH•DH

∴点H是△BCD中CD边上的"好点"．

②CH/DH=5/21．

理由如下：如答图4，连接AD，BD，

∵∠ABD＝90°，∴AD是直径，∴AD＝18．

又∵OH⊥AB，∴OH∥BD．

∵点O是线段AD的中点，

∴OH是△ABD的中位线，∴BD＝2OH＝12．

策略二、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

借助同孤或等弧所对的圆周角相等或其他相等关系，可把三角函数中涉及的锐角转化为直角三角形中的锐角，然后借助三角函数的定义解答.

4．（2019秋•慈溪市期末）如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O于点F，P为弧CD上的任一点，则tanP＝_____．

【解析】连接DF，如图，根据圆周角定理得到∠P＝∠BDF，∠BFD＝90°，再证明∠P＝∠BED，然后根据正切的定义得到tan∠BED＝2，从而得到tan∠P＝2．故答案为2．

5．（2019秋•东台市期末）已知⊙O半径为4，点A，B在⊙O上，∠BAC＝90°，sin∠B＝2√13/13，则线段OC的最大值为_______．

【解析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

如图，连接OA，OB，作AD⊥OA，使得∠ADO＝∠ABC．利用相似三角形的性质证明OC＝2/3BD，求出BD的最大值即可解决问题．

在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，

∴sin∠ABC＝AC/BC=2√13/13，

设AC＝2√13k，BC＝13k，则AB＝3√13k，

∵∠ADO＝∠ABC，∠DAO＝∠BAC＝90°，

∴△DAO∽△BAC，∴AD/AB=AO/AC，

∵∠DAO＝∠BAC，∴∠DAB＝∠OAC，∴△DAB∽△OAC，

6．（2019•虞城县一模）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧ABC的中点．

（1）如图1，求证：OP∥BC．

（2）填空：

①如图2，PC交AB于点D，当∠A的度数为_______°时，OD＝CD；

②若tanA＝1/2，OA＝5，则BC＝_____．

【分析】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，然后根据OP∥BC；

（2）①如图2，连接OP若OD＝CD，则∠DOC＝∠DCO，进而证得∠COD＝∠A，得出∠POD＝2∠A，即可得出∠AOP＝∠COP＝3∠A，由∠AOP ∠POB＝180°，得出3∠A 2∠A＝180°，从而求得∠A度数．

②过PE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，根据正切函数和勾股定理看求得．

【解答】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，

∵P是弧ABC的中点，∴PH⊥AC，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，∴OP∥BC；

（2）解：①连接OP，如图2，若OD＝CD，则∠DOC＝∠DCO，

∵∠A＝∠OCP，∴∠COD＝∠A，

∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，

∴∠POD＝2∠A，∴∠AOP＝∠COP＝3∠A，

∵∠AOP ∠POB＝180°，∴3∠A 2∠A＝180°，∴∠A＝36°；

②解；如图3，过PE⊥AB于E，

7．（2020•龙泉驿区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD

（1）求证：∠C＝∠BED；

（2）若AB＝12，tan∠BED＝3/4，求CF的长．

【分析】（1）根据切线性质、垂直的性质、直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠C ∠AOC＝∠AOC ∠BAD＝90°，即∠C＝∠BAD；然后由圆周角定理推知∠BED＝∠BAD；最后由等量代换证得∠C＝∠BED；

（2）根据锐角三角函数的定义求出AC，OC的长，求出AF长，则答案可求出．

【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，

∴∠C ∠AOC＝90°；

又∵OC⊥AD，∴∠OFA＝90°，

∴∠AOC ∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD．

又∵∠BED＝∠BAD，∴∠C＝∠BED．

小结

总而言之，圆与三角函数都是初中数学知识的重点，也是难点，将这两部分知识综合考查时，难度相对较大。其解题关键在于，找到相关的直角三角形。若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角转化到直角三角形中解答。

圆的内容在考察的时候形式多样，不管是哪一种类型都可以随机结合，对于学生而言灵活变通能力要求较高，所以在平时做题时需要多做总结和同类型整理，才能更快融会贯通。

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