多米诺骨牌机关教学（多米诺骨牌几秒钟倒下）

颠覆我们经验认知的多米诺骨牌倒下时长

一张多米诺骨牌垂直立于水平地面。以尽可能小的力推动一下竖杆，竖杆开始倒下，求骨牌倒落地的时长。

先做理想化假设：

1. 多米诺骨牌质量m；
2. 多米诺骨牌高度为L；
3. 多米诺骨牌厚度为零；
4. 多米诺骨牌倒下过程中以底端为轴顺时针旋转，旋转阻尼为零；
5. 空气阻力为零；
6. 多米诺骨牌是是刚性的。

图1

计算方法要用到刚体力学的知识。根据机械能守恒定律，得到

其中，ω为多米诺骨牌绕O轴转动的角速度；J为骨牌的转动惯量，其值为

骨牌的转动惯量

式2

进而解得

式3

根据角速度ω的定义，得到

式4

也即

式5

两边积分，得到

式6

不幸的是，上式中右边的定积分不收敛，即T等于无穷大。为什么趋于无穷大呢？从图2可以看出因为被积函数在零点趋于无穷大而致。

图2 被积函数在零点处趋于无穷大

这个无穷大的时间长度完全颠覆了我们对日常生活经验的认知：日常生活中的多米诺骨牌可是秒倒啊！

我们的计算错误了吗？如果没错，该作何解释呢？

理想情况下，没有外力，α一直等于零，永远不可能倒下。所以骨牌从静止开始倒下时，一定一开始与垂直方向有一个偏移角度（即为δ），所以严格来说，上式该表示为：

式7

当δ>0时这个式子就是收敛的了。如假定骨牌长1米，并且开始杆偏移了45°，则从静止到落地所需时长为0.191316秒：

进一步假设，如果一开始骨牌偏移了10°，则所需时长（秒）为

进一步假设，如果一开始骨牌偏移了1°，则所需时长（秒）为

这个值与我们的认知就非常符合了。

再进一步假设，如果一开始骨牌偏移了0.1°，则所需时长（秒）为

当杆一开始骨牌偏移了0.01°时，所需时长（秒）为

当杆一开始骨牌偏移了0.0001°时，所需时长（秒）为

当杆一开始骨牌偏移了0.00001°时，所需时长（秒）为

进一步计算，当骨牌一开始偏移了0.00000001°时，所需时长为5.992040044021436秒；当一开始骨牌偏离垂直方向0.000000000001°时，所需时长8.394283464988997秒。

看，1米高的骨牌倒下需要8秒多，这已经大大偏离我们的经验认知了！！！

而且我们发现，当初始偏离角度足够小时，倒下的过程可以任意长，可以是几天、几个月、几年、几十年、几万年，乃至更长时间才倒落在地！！！

数学大大增加了我们对世界的经验认知，也可以让我们大大超越我们对世界的直观认知。这就是数学与人的不可抗拒的魅力吧！

上面谈到的内容其实已经触碰到了极限这个概念：

现在该理解了吧？

对比一下，如果是10米高的多米诺骨牌倒下，一开始偏离垂直方向1°，从静止到落地，所需时长（秒）大约

与前面1米高的骨牌情况做对比，得到结论：骨牌越高，倒下所需时长越长。

水平多米诺骨牌下坠时长是多少？

前面一节中积分不可积，多米诺骨牌倒下的时长高度依赖于最初偏离垂直方向角度的大小。

下面我们来计算一个确定性的题：假定一开始多米诺骨牌水平放置，一段固定在某一个轴上，且可以无摩擦顺时针转动。

问题：从水平静止状态，释放多米诺骨牌的右端，多米诺骨牌开始绕O轴做顺时针旋转，骨牌多长时间旋转到垂直方向？

图3

同样利用刚体力学的机械动能守恒，得到

式8

进一步推导，得到

式9

也即

式10

进一步变换，得到

式11

对α在[0,π/2]区间上积分，得到

其中

为第一类完全椭圆积分（complete elliptic integral of the 1st kind）。令L=1（米），g取9.8m/s^2，得到T≈0.48358秒。

T即为杆从水平到垂直的时长。

当取α在[0,π]区间上积分，得到T≈0.98716秒。即杆从水平静止开始，变为垂直，耗时0.48358秒，再从垂直关系继续绕轴旋转到水平位置，也是耗时0.48358秒。

同样，刚越长，耗时越长。这一道理回馈到我们的直观认知上就是：个子越高，反应越慢。

计算结果与我们的理性/感性认知完全一致的！！！

生活中的另俩有趣问题

问题1：如果有100万张骨牌，启动多米诺骨牌效应，请问所有骨牌倒下需要多长时间？

问题2：

已知自行车前轮轨迹方案，求后轮轨迹，并求前后轮轨迹长度比值。

图片来源：https://zhuanlan.zhihu.com/p/85584432

这俩问题留待后续专题讨论。

陌上花开，可缓缓归矣

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