初三数学平均值（初等数学20-分数）

• 分数的含义
• 假分数、带分数、真分数
• 假分数与带分数的相互转换
• 等值分数建模
• 数轴上的分数及其排序

分数的表示

分数的含义

A 和 B 都喜欢披萨。某天他们买了一个披萨，一人一半。也就是将披萨等分成两份，一人得一份。数学上是 1/2

倘若除了 A、B 又来了两个人 C、D，现在想让 4 个人平分怎么办呢？将披萨等分成 4 份，每个人得到其中的 1/4

后面又来几个人，一共 12 人。那么就需要把披萨 12 等分，每人 1/12

分数：形如 a/b，a 和 b 都是整数且 b ≠ 0，a 称为分子，b 称为分母。分数是表示整体的一部分。b 表示整体被分成 b 等份，a 表示从b等份中得到a份。

将一个圆等分成 3 等份，每一部分是整个圆的 1/3。

那么 2/3 代表 3 等份中的两份

我们可用圆，也可用分块为分数建模

上图的模型中，我们可以看到 n 等份中的 n 份（n ≠ 0）合计为 1，即 n / n = 1。

如何用圆对大于 1 的分数建模？看看下面的列子

3 / 2

8 / 5

7 / 3

假分数、带分数、真分数

上面的 3 个例子中，如果我们希望得到 8/5，就是需要 8 份且每份是 1/5。8/5 相当于 1 个5/5加上 3/5，即

一又五分之三

上图的形式，我们称之为带分数：由一个整数和一个分数组成，形如

注：c ≠ 0

而 8/5，3/2，5/5 等称为假分数。它是分子大于或等于分母的分数。而对于分子小于分母的分母的分数，我们叫它为真分数。如：1/2，3/7，11/18 等

假分数与带分数的相互转换

由假分数和带分数的定义可知，它们是可以相互转换的。

8 按 5 分组得到五分之五(1)和五分之三

对于 8/5 相当于 8 除以 5

8 以 5 分组

以假分数 8/5 为例，我们看看它转为带分数的过程

再以带分数

为例，转为假分数。首先把它拆分成 1 和 3/5，而 1 等于 5/5。所以

等值分数建模

看看这样的描述，A 吃了 1/2 个披萨，B 吃了 2/4 个披萨，那么他们是不是吃了一样多的披萨？换一句话说，1/2 是否等于 2/4 ？我们用分块建模的方式回答这个问题

1/2 = 2/4

模型可知，2 个 1/4 与 1/2 相等。那多少个 1/6 与 1/2 相等呢？

1/2 = 3/6

上方蓝色区域的 1/2 和红色区域的 1/6 是相等的，即 1/2 = 3/6

那么怎么找等值分数呢？我们知道根据分块模型可以找很多与 1/2 相等的分数，如：2/4, 3/6, 4/8 等等。

用披萨来给 1/2, 4/8 建模

根据上方的模型，如何用数学方式说明 1/2 与 4/8 相等呢？我们把两个披萨分别作两等份和八等份处理，如果从它们当中分别拿到一半，即在两等份的披萨中拿一份，而在八等份的披萨中拿四份。用数学表述如下：

因此，对于任意整数 a、b、c（b ≠ 0 且 c ≠ 0）时，

数轴上的分数及其排序

通过在数轴上画出分数可以更好的帮助我们理解它的表示和值的含义。我们在数轴中找到 1/5, 4/5, 3, 3又1/3, 7/4, 9/2, 5, 8/3。

对于整数 3 和 5，很容易在数轴找到它们

1/5, 4/5 是真分数，而真分数都是小于 1 的，说明它们在 0 和 1 之间。由于分母都是 5，可以把 0 到 1 分为五等份，然后找到它们对应的点。如下

3又1/3 是带分数，它是 3 加上 1/3，因此它是大于 3 的，但又小于 4。所以它在 3 和 4 之间，我们在 3 到 4 之间分为三等份，找到它对应的点

7/4, 9/2, 8/3 是假分数，可以先把它们转换为带分数，按前面带分数的方法找到对应的点

在讲整数时，我们讲到过它们的相反数。同样，分数中相反数的定义也是成立的。

3/4 的相反数 -3/4

分数的大小：

1. 真分数：绝对值大于 0 小于 1
2. 带分数：在分数部分为真分数时，绝对值大于它的整数部分而小于整数部分加 1
3. 假分数：将它转为带分数，再按带分数确定它的位置

根据这些分数的大小，在数轴上确定它们的位置来比较大小

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