中考数学关于圆的证明题（中考数学解答题系列4）

考向解读

分析河南近10年（2010～2020年）数学中招试题，发现第18题命题特点：

第18题主要考查：

①与圆有关的特殊四边形动态探究题；

②与圆有关的证明与计算

所涉及的知识点：圆周角定理、圆的切线的判定定理、圆的切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定定理、直角三角形的性质与判定定理、菱形的性质与判定定理等，具体命题特点：

1、第1问主要是证明：全等，线段相等，角相等等；

2、第2问主要是与圆有关的计算：

①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。

例题精析

例2 （2017•河南）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．

（1）求证：BD＝BF；

（2）若AB＝10，CD＝4，求BC的长．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝90°，

∴BD⊥AC，∠BDC＝90°，

∵BF切⊙O于B，

∴AB⊥BF，

∵CF∥AB，

∴CF⊥BF，∠FCB＝∠ABC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠FCB，

∵BD⊥AC，BF⊥CF，

∴BD＝BF；

（2）解：∵AB＝10，AB＝AC，

∴AC＝10，

∵CD＝4，

∴AD＝10﹣4＝6，

解题秘籍

1.找圆心，连半径，转移边（或等腰现）（这一点容易疏忽，特别重要）；

2.遇切线，连半径，得垂直（利用切线的性质）；

证切线：①有切点，连半径，证垂直；

常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；

有时 可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

②无切点，做垂直，证半径；

常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；

在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行 由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

3.遇角找弧，由弧找角，然后运用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半（圆中处理角的方法策略）；

4.遇直径，想直径所对的圆周角是90°（有时需构造直径）；遇弦，作弦心距（垂径定理），构造直角三角形，应用勾股定理直接求或列方程求解（涉及弓形的高）；

5.注意圆内接四边形性质的应用（易漏掉，没考虑到）：对角互补，一个外角等于内对角；

6. 含30°直角三角形的三边的比为：

7.求线段的长：把所求线段转化到直角三角形中，再结合已知条件，利用勾股定理或锐角三角函数进行求解.

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。

分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。

8.“直角 中点”模型：考虑斜边中线等于斜边的一半或推导应用它的逆命题；“角平分线 平行”模型：可推导出等腰三角形，或考虑其逆命题；

9.圆的证明题常用的辅助线有：

①直径类问题：遇直径，作圆周角.

②切线类问题：

证明切线：有点连圆心，证垂直；无点做垂线，证半径.

已知圆的切线：有点连圆心，得垂直；无点做垂线，得半径.

③弦一类问题：

过圆心做弦垂线段，还有连接半径.

这样构造直角三角形，解直角三角形即可。

10.重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：如：

①构建矩形转化线段；

②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；

③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；

④构造勾股定理模型；

⑤构造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

备考指导

1、认真审题，由已知条件可以知道哪些信息？求解的目标是什么？盯着目标去找条件，直接解决不了，怎么转化问题？

2、几何中的基本图形要非常熟悉，如相似中的A型、X型、双垂直图形等等。

3、求线段长度的两个工具：勾股定理、相似（或锐角三角函数）；一种思想：方程思想。

4、使用三角形函数的前提是必须在直角三角形中，如果某个角的三角形函数不好求，利用等角转化，可以把它转化到一个好的直角三角形中去求解决。

跟踪演练

参考答案

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