波特图有什么价值（波特图的来由原来这么简单）

接触波特图也十来年了。我始终处于时懂时不懂的状态。记得最牢的一段内容：右半平面零点，幅频曲线在零点频率附近开始以20dB每10倍频地增加；相位曲线在0.1倍零点频率附近开始增加，到零点频率附近增加了45度，到10倍零点频率附近增加了90度，此后相位保持不变；右半平面极点，幅频曲线在极点频率附近开始以20dB每10倍频地降低；相位曲线在0.1倍极点频率附近开始减小，到极点频率附近减小了45度，到10倍极点频率附近减小了90度，此后相位保持不变。

今日这篇文章，我来简单推导幅频曲线，保证你看一遍就会了，我想是这样。一个系统可以用传输函数来表征，我们又可以采用幅频特性和相频特性来分析传输函数。

先看单一零点的传输函数，假设直流增益为1, 见图1所示。这个传输函数在频率为零时，增益为1; 频率在零点处，增益为根号2, 或者说3dB; 频率在10倍零点频率处，增益为10, 或者说20dB; 频率在100倍零点频率处，增益为100, 或者说40dB. 事实上，从低频到零点频率再到10倍零点频率，增益由原来的0dB增加至3dB, 再增加至20dB. 此后才是按上述的规律，每10倍频增加20dB.

图1: 单一零点传输函数的幅频特性

图2为单一极点的传输函数，同样假设直流增益为1. 与图1类似，这个传输函数在频率为零时，增益为1; 频率在极点处，增益为根号2分之一, 或者说-3dB; 频率在10倍极点频率处，增益为1/10, 或者说-20dB; 频率在100倍极点频率处，增益为1/100, 或者说-40dB. 事实上，从低频到极点频率再到10倍极点频率，增益由原来的0dB降低至-3dB, 再降低至-20dB. 此后才是按上述的规律，每10倍频减小20dB.

图2: 单一零点传输函数的幅频特性

接下来，来看零点和极点组合的情况，极点频率为10倍零点频率，同样假设直流增益为1, 见图3. 这个传输函数在频率为零时，增益为1; 频率在零点处，增益约等于根号2, 或者说3dB; 频率在极点处，增益为10除以根号2, 或者说17dB; 在10倍极点频率处，增益为10, 或者说20dB, 此后不管频率怎么变，增益均保持不变. 总结一下，从低频到零点频率，到极点频率，再到10倍极点频率，增益由原来的0dB增加至3dB, 增加至17dB，再增加至20dB, 此后才是按照俗说的规律零点和极点的作用相互抵消。

图3: 简单零极点组合的传输函数的幅频特性

最后，来看一个难度大一些的零点和极点组合的情况，极点频率为2.4倍零点频率，同样假设直流增益为1, 见图4. 这个传输函数在频率为零时，增益为1; 频率在零点处，增益约等为根号2除以1.08, 或者说2.3dB; 频率在极点处，增益约等于2.6除以根号2, 或者说5.3dB; 在10倍极点频率处，增益为2.4, 或者说7.6dB, 此后不管频率怎么变，增益均保持不变. 总结一下，从低频到零点频率，到极点频率，再到10倍极点频率，增益由原来的0dB增加至2.3dB, 增加至5.3dB，再增加至7.6dB. 此后才是按照俗说的规律零点和极点的作用相互抵消。而此前零点和极点相互影响，不再是简单的每10倍频增加或减小20dB.

图4: 较复杂零极点组合的传输函数的幅频特性

有没有发现一个规律呢？当频率大于10倍极点频率，增益为极点与零点的倍数关系。