三角形的三边关系和题型（三角形三边关系问题的分类）

运用“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角形任意两边之差小于第三边”，可以解决三角形三边之间的关系问题。由于这两个知识点后者可以由前者推得，所以处理三角形三边之间的关系问题有前者就足够了。前一知识点的另一个说法是：若a、b、c分别为三角形的三边，则可以随意推得下列结论中的一个或几个，即a b>c，①b c>a，②c a>b③；反之，若要使a、b、c能够成为某个三角形的三边（构成三角形），则①、②、③必须同时成立，缺一不可。

一、三边大小关系确定型

若a≥b≥c，则①、③两式恒成立，此时只须满足b c>a即可，亦即三角形较小两边之和大于最大边。

例1、已知线段a、b、c的长度满足a<b<c，那么以a、b、c组成三角形的条件是（ ）

A、c-a<b

B、2b<a c

C、c-b>a

D、b²<ac

解析：C为最长边，故a b>c即可，由此式有c-a<b，故本题应选A。

例2、设a>0，某三角形的三边长依次为a-2，a，a 3，求a的取值范围。

解析：易知a-2<a<a 3，则（a-2） a>a 3，故a>5。

例3、下列能组成三角形的一组线段是（ ）

A、2，3，5

B、2，6，3

C、a 2，2a 3，3a 4（a>0）

D、1-a，2-a，3-2a（a<0）

解析：在A中，2 3=5；在B中2 3<6；在C中，a 2<2a 3<3a 4，且有（a 2） （2a 3）>3a 4；在D中，（1-a） （2-a）=3-2a。综上可知，A、B、D应排除，正确答案为C。

二、仅有两边大小关系确定型

若a≥b，则③式恒成立，此时只须满足a b>c且b c>a即可，针对第三边c，由此两式易得a-b<c<a b，亦即三角形的第三边大于长边与短边之差，而小于长边与短边之和。

例4、两根木棒的长分别为8cm，10cm，要选择第三根木棒将它们钉成一个三角形，那么第三根木棒长x的范围是 。

解析：因10>8，故l0cm-8cm<x<10cm 8cm，即2cm<x<18cm。

例5、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，求x的取值范围。

解析：易知三边长分别为x，x，20-2x，因x=x，故视20-2x为第三边，则x-x<20-2x<x x，即0<20-2x<2x。解得5<x<10。

例6、已知：三角形的一边是另一边的2倍，求证：它的最小边长在它周长的

与

之间。

解析：设三边分别为a，b，c，且a=2b。因a>b，c为第三边，故a-b<c<a b，即2b-b<c<2b b。∴b<c<3b，由此知b为最小边，并继续有（a b） b<（a b） c<（a b） 3b，∴2b b b<a b c<2b b 3b，4b<a b c<6b，解得

（a b c）<b<

（a b c）。

三、三边大小关系未定型

此种情况须综合考虑①、②、③，才能正确解题。

例7、三角形的边长分别为a、b、c，且|b c-2a| （b c-5）²=0，则b的取值范围是 。

解析：由题设条件易得b c=5，a=

，此时b c>a已成立，考虑①、③，得

b>5-b且（5-b）

>b，解得b>

且b<

。∴

<b<

。

例8、设三边不等的三角形的各边之长都是整数，周长等于15，那么这种三角形的个数有

个。

解析：设三边分别为a,b,c,且a>b>c，则b c>a，∴a b c>2a，即15>2a，∴a<7.5。

又a>b, a>c, ∴2a>b c，3a>a b c，即3a>15，∴a>5。又a<7.5，∴5<a<7.5，a=6或7。

当a=6时，b c=9，易知满足6>b>c的整数为b=5，c=4；当a=7时，b c=8，易知满足7>b>c的整数为b=6，c=2或b=5，c=3。故填3。

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