如何求最短路径（神奇的最短路径问题）

最短路径问题是小学数学应用问题难题，这类题一般会出现在奥数培优课堂上，从知识点上分析，这类题并没有超纲，但孩子普遍反映对这类题适应性不好，今天我就系统讲解一下最短路径问题。

将军在A地，要回B地的营地，在回营地之前，先要到一条河边给马喝水，请你帮他找到一条最短路线，在图中表示出来。

著名的将军饮马问题

这是一道典型的最短路径问题，也是著名的将军饮马问题。做这类题，我们首先要掌握两个基本性质：

①两点间线段最短。这个很好理解，从A地到B地，一定是直线距离最短。

②镜面反射中，入射角等于出射角。这个我们一会儿用具体的图形表示。

这道题我们可以做出A点关于这条河（图中的直线）的对称点A'，然后连接A'B，与直线相交于点O，此O点即为将军饮马点。图示如下：

寻找对称点是突破口

题目做完了，但为什么O点就是我们要找的点呢？我们不妨换一个点来试试，比如下图中的O‘点。

三角形中两边之和大于第三边

我们来看一下上图，由于A'和A是关于直线对称的，因此，OA=OA'，因此，将军饮马的距离OA OB=OA' OB=A'B。

而如果我们换一个点O‘，此时将军饮马的距离是O'A O'B，根据对称性，O'A=O'A'，因此，将军饮马的距离O'A O'B=O'A' O'B，显然，这里的距离要大于点A‘和点B的直线距离，所以说，我们通过寻找A关于直线的对称点A'，再与B连线相交直线的点O才是将军应该饮马的合理地点。

看来，寻找对称点是解决最短路径问题的关键，那么我们再出一道最短路径问题，看看你会不会做？

有两个村庄A和B被一条河隔开，现在要架一座桥MN，使得由A到B的路程最短，桥应当架在什么地方？（河岸是平行的，桥垂直于两岸）

这道题和上一道题很相似，但也有不同，不同的地方是两点在河的两岸，同时，这条河是有宽度的，那么这道题应该怎么做呢？

显然，河上的桥长MN是不变的，这个距离我们不需要考虑，我们重点应该放到AM BN上。

观察上图我们发现，AM和BN并不是平行的，如果两者平行会出现什么情况呢？我们再画一幅图来看看。

显然，AM BN=AM B'M=AB'，是两个点之间的直线距离，因此，这样做会确保AB之间的距离最短。具体的，我们可以过B点向上做BB‘=MN，找到B'点后，连接AB'，使其交河岸于点M，当然，也可以过A点向下做AA'=MN，找到A'点后，连接A'B，使其交河岸于点N，结果是一样的。

我们再来看一道类似的题目：要在两条街道AB、CD上设立两个邮箱，K处是邮局。邮递员从邮局出发，从两个邮箱里取出信件后再回到邮局，邮筒应当设在何处，才能使邮递员所走的路线最短？

这道题和例题一很相似，不同的是只有一个点，却有两条线，这道题的做法也是寻找对称点，从对称点出发解决问题，如下图所示：

我们来解释一下为什么通过做两次对称点，并连接两个对称点与AB、CD相交的M、N两点就是题目要求的点，看一下下图：

根据题意，邮递员走的路径就是KM MN NK，观察上图，根据对称性，KM=K'M，NK=NK''，因此，上图中KM MN NK=K'K''，是两点之间的最短距离。

总结一下：解决最短路径问题的一个重要的突破口就在于构造对称点，因为构造出对称点后，题目中的点与点之间距离和问题可以转化为两点之间的距离问题，通过两点之间直线距离最短这个重要的性质，就可以求得最短路径了。