定比点差怎么解决定线问题(比点差法更高级的)
双节出行难,宅家做好题。
我们知道,前面说的垂径定理,主要解决的,是有心二次曲线的中点弦问题。
而且,中点弦这个东西,在解析几何中也确实还是比较常见的。
所以,对于中点弦这个条件,真心还是希望初学的孩子能有一个更好的理解和感悟。
只是,说到感悟,就真的会是那么容易的么?
因为,平时最常见弦的条件中,类似于下面这种分点才是最正常不过的吧!
而且,这种条件都还是小菜了,更麻烦的是,常常还会出现长度之比什么的。
比如曾经的这个高考题,又是伤了多少孩子的心呢。
所以,作为一名善良的数学老师,真的要郑重提醒某些初学的孩子,不要知道个点差法,就觉得解析几何是自家的、而沾沾自喜了。
毕竟,解析几何的处理,对于绝大部分人来说,一定是任重而道远的……
说说定比点差法
所以,今天就想说说非中点弦的问题。
用的,依然是点差法,只是相较于中点弦的点差法来说,可能更加的具有一般性而已。
而原理,其实是一样的。
只是在具体讲解之前,还是要交待一个不知道为什么,被教材丢弃了的一个概念——定比分点。
以上就是我所认为的定比分点的相关内容了。至于分点的坐标公式,其实利用向量相等就可以很好的证明了,算是极其简单的。
但这个公式,对于点共线的处理,其实还是非常有用的。
所以在向量中,一直强调的最重要的几个点,其中就有平面向量基本定理,以及它的推论——共线定理。
说了那么多,还是先来个开胃小菜吧。
这就是个典型的定比问题了,对于这种问题的处理,其实思路还是比较多的。
几何法,总是会让人的内心,感觉到非常爽利的!因为计算量,实在是少的惊人的。
只是,这种方法,其实违背了解析几何的基本思想。因此,往往要达到这样的效果,很多时候就需要有丰富的解题经验了。
所以,这种解法,于很多同学来说,往往算是偶得的灵感,算不得数的。
这种提笔写的模式化的过程,其实才是处理解析几何题最基本的形态。
虽然计算或化简的过程,可能会复杂了些,但确实是每个学解几的孩子的必修课了。
所以,我们对于自己的计算和化简能力的要求,还是要尽量的高一点。
直线的参数方程,其实是很多同学不愿提及的,但有时却偏偏会是一种非常好的思路。
尤其是涉及到直线上,到同一定点的不同距离之间的关系时,用它总是很方便的。
只是,这个题用它,计算量实在是有些大了。所以中间的过程,我采取了“打马过桥”的方式,只是写了个大概,至于化简后的结果,其实并不是非常肯定的。
不过,在后面的题中,还是想就参数方程的解法,给大家一个示范。也希望在阅读的过程中,让大家能体会到它的优越性。
有网友后台留言要写个定比点差法,终是如愿了。
其实,细看这个点差法,只是充分利用了定比分点和椭圆方程中横、纵坐标表达式形式的一致性,以及x,y结构的相似性而采用的一种小手段。
仅此而已!
细想了一下,中点弦当中的点差法,其实不就是这个点差法的特殊情况么?
只是λ=1了而已!
但确实,这种变形,也是值得称道的。
所以说,得数学者得高考,得代数者得数学。
代数变形的能力,真的是太重要了。
为便于进一步理清这种题型的解题思路,我依然用以上的四种方法进行了处理。
不过参数方程法这次真的是认真的做了个示范。
建议初学的同学,还是先自行模仿解题,在模仿中理解方法的本质,以及与前面例题的区别与联系。
两个例题,都用了四种解法,其实关于定比点差法的优越性,也并没有体现出多少。
只是,作为一种特殊条件下的特殊思路,还是值得研究下的。
所以,后面的题,我只用了定比点差。
这个高考题,曾经就让很多安徽的孩子痛不欲生。
主要是,那个条件是个什么鬼?
可是,细细观察下,因为有了两组的三点共线,便可以尝试用定比点差法处理了。
当然,也可以用以前说过的极点极线的思路做下处理。
为防万一,解之前我还特地验证了下。
那个分点,确实是在定直线上了,才放心地进行了下面的处理。
这个高考题,除了让我们找到了一个点在线上的另类证明,其实也是想告诉我们一个一般化的结论,这个结论可以总结为下面这个问题:
从过程上看,这个点在线上的证明过程,倒确实是非常简洁的。
所以,定比点差法,对于类似“三点共线”、“线段成比例”或“过定点”等条件的处理,确实能起到优化计算过程的作用,有着它自己独特的优势。
但是不可否认的是,作为一种特殊方法,它也有它自己的局限性,并不能完全解决相关条件。因此,在解题时只能作为一种备选方案,切忌对它产生依赖性哦。
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