相似三角形中考技巧（中考相似三角形专题训练）

位似图形的定义

1.定义：如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比也称为位似比.

温馨提示：(1)位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

(2)两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上；

(3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧.

2.常见模型：

3.性质：(1)位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

(2)位似图形对应点的连线交于一点；

(3)位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等；

(4)位似图形是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.

注意：(1)位似图形中任意两对对应点的连线的交点就是位似中心；

(2)一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似.

4.位似图形的画法：(1)确定位似中心；

(2)分别过位似中心和原图的各关键点作直线；

(3)根据相似比，找出所作位似图形的对应点；

(4)按原图连接各点，得到放大或缩小的图形.

注意事项：(1)符合条件的位似图形往往不唯一；

(2)作出的位似图形一般有两种情况，一是各对应点在位似中心的同侧，二是各对应点在位似中心的两侧；

(3)作位似图形时，要注意相似比的顺序性.

5.位似变换与坐标：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原

图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).

6.“一线三等角”在相似三角形中的应用素养解读：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.

所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等，在这样的模型中，存在相似三角形.若出现了边相等的条件，相似就转化为全等.

经典例题集锦：

1.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点,连接AE并延长,交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为 ( 　)

 A.1/3 　 B.1/5 　 C.1/6 　 D.1/11 

2.如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 (　　)

 A.1∶3　 B.2∶3　 C.√3∶2　 D.√3∶3

3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，BC=6，AB=7，点P是线段BA上的一个动点，连接PC、PD.若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有 (　　)

 A.5个　　 B.4个　 C.3个　 D.2个

4.如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD∶BD=2∶1，点F在AC上，AF∶FC=1∶2，连接BF，交DE于点G，那么DG∶GE等于 (　　)

 A.1∶2　 B.1∶3　 C.2∶3　 D.2∶5

5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1/3，点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点的坐标为 (　　)

 A.(3,2)　 B.(3,1)　 C.(2,2)　 D.(4,2)

6.已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，E、F分别是AC、BC中点，则CD与EF关系是( )

A.EF＞CD B.EF=CD C.EF＜CD D.不能确定

7.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止.即PA=x，点D到直线PA的距离DE为y，则y关于x的函数解析式是  (　　)

 A.y=12x　 B.y=12/x  C.y=3/4x　 D.y=3/4x

8.如图，在△ABC中，点、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为 (　　)

A.2√3 　 B.3√2 　 C.2√6 　 D.5

9.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2 cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t s(0≤t<4)，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为(　　)

 A.2　 B.2.5或3.5　 C.2或3.5　 D.2或2.5

10.如图，在▱ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，CE，BD，CE和BD相交于点F，若△BEF的面积为1，则▱ABCD的面积为 (　　)

 A.8　 B.10　 C.12　 D.16

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11.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G.设△EFG、四边形FBCG的面积分别为S1,S2，则S1∶S2=　　 　 .

12.如图，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.若点P是二次函数y=-x² 3x的图象在y轴右侧部分上的一个动点，且以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为　　 　 .

13.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=　　 　.

14.如图，边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，P在射线DC上从D出发，以每秒1个单位长度的速度运动，过P作PF⊥DE,当运动时间为　　　 秒时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似.

15.如图，一次函数y=3/4x 3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=3/x(x>0)的图象交于点C，点P是反比例函数y=3/x(x>0)图象上的一点，作PQ⊥x轴于点Q，连接OP.当点P的坐标为　　　 时，△OPQ与△OAB相似.

16.如图，已知正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE、EF为邻边作矩形AEFG，若AB=4，则点G到AD距离的最大值是　　 　.

17.如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE，别交BC,AC于点F、G.

(1)求证：BF=CF；

(2)若DG=4，求FG的长.

18.如图，,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆

O于点F.已知CE=12，BE=9.

(1)求证：△COD∽△CBE；

(2)求半圆O的半径r的长.

19.如图，点D在以AB为直径的☉O上，,AD平分∠BAC，DC⊥AC，过点B作☉O的切线交AD的延长线于点E.

(1)求证：直线CD是☉O的切线；

(2)求证：CD·BE=AD·DE.

20.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，AE⊥DE.

(1)求证：△ABE∽△ECD；

(2)若AB=4,AE=BC=5，求CD的长；

(3)当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间的数量关系，并说明理由.

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