求质数的算法（求N以内所有质数的算法及优化）

问题：输入一个正整数 N（N > 2），求小于 N 的全部质数。

质数，就是除了1和它本身外不存在其他因子的数。

循环法：利用质数的定义，循环判断该数除以比它小的每个自然数（大于1），如果有能被它整除的，则它就不是质数。

示例代码如下：

#include <iostream> using namespace std; int main() { int N = 50; int sumStep = 0; // 统计迭代次数 cout << 2 << endl; // 2 是质数 for (int i = 3; i < N; i) { bool flag = true; // 假设是质数 for (int j = 2; j < i; j) { sumStep = sumStep 1; if (!(i % j)) { // 找到能被整除的 flag = false; break; } } if (flag) { cout << i << endl; } } cout << "sumStep: " << sumStep << endl; return 0; }

运行结果如下：

可以看到，当 N = 50 时，上述算法总共进行了349次循环。

在上述基本算法的基础上，可以对循环进行一些优化，减少循环次数：

• 对于第一层循环：除了2之外，偶数肯定不是质数，因此可以将第一层循环步数设为2；
• 对于第二层循环：在第一层循环的基础上，因为质数首先肯定是奇数，所以只需用奇数整除即可，即第二层循环步数也可以设为2；
• 对于第二层循环：判断一个数 i 是不是质数，只需用 3 到 sqrt(i) 之间的奇数判断即可。因为 i 的因数除了 sqrt(i)，其他都是成对存在的，比如36的因数（2、3、4、6、9、12、18），36 = 2 * 18；36 = 3 * 12；36 = 4 * 9；36 = 6 * 6；

代码优化如下：

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { int N = 50; int sumStep = 0; // 统计迭代次数 cout << 2 << endl; // 2 是质数 for (int i = 3; i < N; i = 2) { bool flag = true; // 假设是质数 int jStop = sqrt(i); // 终止条件 for (int j = 3; j <= jStop; j = 2) { sumStep = sumStep 1; if (!(i % j)) { // 找到能被整除的 flag = false; break; } } if (flag) { cout << i << endl; } } cout << "sumStep: " << sumStep << endl; return 0; }

运行结果如下：

优化后，只需31次循环，相比原来的349次，大大减少了循环次数，提升了算法效率。

算法分析：时间和空间复杂度

判断两正整数是否互质：Matlab求商法