数学定理为什么要证明（数学中的定义定理与证明）

数学注重思维的建立与培养。面对一个抽象问题，如何去思考，采取什么手段去解决，这是学习数学需要特别注意的地方。简言之，过程重于结果。

数学是一门严密的自然科学，学习数学免不了从“定义”、“定理”开始。那么究竟什么是定义？什么是定理呢？

简单来说，定义是人为规定的对概念的描述，比如说，“三条边长度都相等的三角形叫等边三角形”，这是对“等边三角形”下的定义，是不需要证明的东西。定理是可推导、证明的有逻辑的陈述，定理必须经过严格的证明，是从定义或者公理衍生出的命题或公式，比如，“勾股定理”。

所以，再也不要说“我在证明这个定义”或者“我来规定个定理”之类的话了！

对于定义而言，要想学数学，必须要把定义记清楚。每一个数学概念在下定义的时候，都会有一定的背景，搞清楚这些背景就会很容易记住。

比如：可导的定义一般都是从瞬时速度开始引导，再到切线斜率，经过这个过程，对可导的定义就会理解了。

所以说，上课的时候跟着老师的思路，即使是听不懂，也感受一下，了解一下，知道这些东西是怎么来的，多听思路与分析过程，比死记硬背套结论要强得多。

对于定理或者问题，建议大家从这几个方向去思考、理解：

1、定理证明本身是构造性的，还是存在性的？证明的关键在哪？

2、定理能如何应用？有没有直观的几何模型或者熟悉的例子可以解释或者验证？

3、定理能否推广？

下面简单说说第一点，构造性证明和存在性证明。

举一个例子：证明连续函数介值定理。

存在性证明（使用确界原理）：

构造性证明（使用闭区间套定理）：

构造性方法更适合于应用问题， 现实问题更重视可操作性。存在性证明通常可以避开某些技术性困难，而且结 论往往更有普遍性。难说哪个方法更好，两者各有特色，需要依具体问题而定。 比如，你需要解决某个实际应用问题，肯定希望用构造性方法。