全等三角形基本知识点（找不到关键的全等三角形）

本文的这道例题，我们运用基本图形分析法中轴对称型全等三角形来分析和添加辅助线。

首先通过已知的条件，得到可行的全等和对应的条件，并以此通过结论来推证线段的垂直。从中对原有图形进行添线，使全等的图形变完整。

例25 如图5-76，已知：O是△ABC的外心，AD是角平分线，E是AB上的一点，且AE=AC。求证：OA⊥DE。

图5-76

分析：本题条件中出现了AE=AC、∠EAD=∠CAD和AD=AD，可得△ADE≌△ADC，是一对轴对称型全等三角形（如图5-77），于是∠ADE=∠ADC。

图5-77

现在要证OA⊥DE，这是一个垂线的判定问题，所以根据垂线的定义，延长AO交DE于F后（如图5-78），应证明∠AFD=90°，也就是要证明∠ADF ∠DAF=90°。但由∠ADE=∠ADC，可以发现这两个相等的角是关于AD成轴对称的，从而就可以再一次添加轴对称型全等三角形进行证明。由于图形中已经出现了对称轴AD，所以添加的方法是将三角形沿对称轴翻折过去。而当我们将△ADF沿对称轴AD翻折后，DF就落在DC上，而AF就应落在DF的对应部分DC的垂线上。由于已知图形中没有这条垂线，所以应将这条垂线添上，即过A作AH⊥BC交BC于H，那就应证△ADF和△ADH全等（如图5-78）。而在这两个三角形中，已经有∠ADF=∠ADH和AD=AD，所以还要证一个条件。

图5-78

由条件AD是△ABC的角平分线，即∠BAD=∠CAD，而这两个角都是圆周角，所以可应用圆周角的基本图形的性质进行证明，但现在这两个圆周角都只有一边和圆相交，所以要将另一边也延长到与圆相交，即延长AD交⊙O于G，即可得弧BG=弧CG，G是弧BC的中点。然后就可直接应用弧的中点的性质，或者也就是应用垂径定理，可得联结OG（如图5-79）后，有OG⊥BC，所以OG∥AH。又因为OA、OG是⊙O的两条半径，它们可组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质可得∠G=∠FAD，而由OG∥AH，又可得∠G=∠HAD，所以∠FAD=∠HAD，所以△ADF和△ADH全等就可以证明，分析也就可以完成。

图5-79

本题要证明OA⊥DE，而OA是⊙O的半径，这样就出现了半径的垂线，所以可添加过半径的外端所作的半径的垂线，也就是圆的切线进行证明，于是过A作OA的垂线MN（如图5-80），即可得MN与⊙O相切于A，而AB是过切点的弦，所以∠MAB=∠C。而在作出了MN上OA后，由于要证OA⊥DE，也就是要证DE∥MN，所以问题又转化为要证∠MAB=∠AED，∠AED=∠C。由条件可得△ADE和△ADC是一对轴对称型全等三角形，所以这个性质就可以证明。

图5-80