正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)

正六边形是非常优美的图形,它既是各边相等,各角相等的图形,而且还具有对称性,给人整体以美的感觉,我们来看看关于正六边形有什么有趣的问题。

下面三个正六边形中,阴影部分面积之间的关系如何?

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(1)

图1.多种分割下的正六边形

将正六边形对应端点进行相连,形成上图所示三种不同的图形,那么黄色,绿色,蓝色部分的面积什么关系呢?

我们可以添加一些辅助线来帮助梳理思路,我们以第二幅图(绿色阴影)为例,将正六边形的中心作为支点,与其他端点进行相连,可以连接成下图所示的样子:

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(2)

图2.以中心为支点进行连接

对比图1和图2可知,黄色部分和绿色部分以及蓝色部分都是三个小三角形组成的,因此,黄色、绿色、蓝色区域面积是相等的。

我们再来看一道难一点的题目。

大正六边形的面积是360,其中含有3个完全一样的小正六边形和3个完全一样的菱形,求菱形的面积是多少?

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(3)

图1.三个小正六边形和三个菱形

这道题我们从正六边形和菱形的性质入手,寻找解题的突破口。

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(4)

图2.菱形和正六边形的关系

根据菱形的性质可知,图中蓝色粗线的长度等于红色粗线的长度,又根据正六边形的性质,红色粗线的长度等于绿色粗线的长度,这样,蓝色粗线的长度就等于绿色粗线的长度了。这样,一个正六边形就可以分割成三个菱形,如下图所示:

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(5)

图3.一个小正六边形内含三个菱形

在这个大正六边形内部,一共有3个小正六边形以及3个菱形,而一个小正六边形是由3个菱形组成的,因此,这个大正六边形就是由12个菱形组成的。大正六边形的面积是360,那么菱形的面积就是360÷12=30。

我们再来看一道数图形个数的问题,图中有多少个等腰三角形?

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(6)

图1.正六边形相应端点相连

这道题需要学生认真的观察,既不能有遗漏的情况,也不能重复计数,这就要求学生在数的时候要根据一定的次序进行,这里,优博数学直接给出答案,你数对了吗?

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正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(8)

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(9)

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(10)

正五边形画法与证明(有趣的正六边形问题)(11)

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