中考数学抛物线判断题型（揭秘雨刷器之扇环问题的求解策略）

在两个同心圆中，任作两条半径。它们与圆相交，形成的曲边四边形我们称为扇环，如图1阴影部分。近年来由于旋转带来阴影面积之扇环问题频频出现在中考中，有面积问题，弧长问题等，这类中考问题大多以现实生活为背景，经常与全等三角形知识、解直角三角形等综合在一起。

引例：当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积如图所示，现量得：CD＝80cm、∠DBA＝20°，AC＝115cm，DA＝35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．

【分析】雨刷CD扫过的面积就是一个大扇形﹣小扇形的面积，圆心角是90度，半径分别为115cm，35cm，所以根据扇形的面积公式计算．

【解答】由题意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，

且大扇形半径AC＝115cm，小扇形半径AD＝35cm，且圆心角都为直角，

答：雨刷扫过的面积为3000πcm²．

【点评】此题主要考查了扇形面积计算，本题的关键是看出雨刷CD扫过的面积就是一个大扇形﹣小扇形的面积，然后再从一堆的数据中分出哪些是有用的，哪些是没用的．根据扇形的面积公式计算．

例1（引例变式）．一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图1所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为45cm，∠OAB＝120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图2所示．

（1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；

（2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．

【分析】（1）利用已知图形得出雨刮杆AB旋转的最大角度，再利用锐角三角函数关系得出BE的长，进而求出BO的长；

（2）直接得出△BAO≌△OCD，进而得出雨刮杆AB扫过的最大面积．

【解答】（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180°，

如图2，连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于E，

∵∠OAB＝120°，∴∠OAE＝60°

在Rt△OAE中，

∵∠OAE＝60°，OA＝10cm，

∴sin∠OAE＝OE/OA=OE/10，

∴OE＝5

cm，AE＝5cm∴EB＝AE AB＝50cm，

在Rt△OEB中，∵OE＝5

cm，EB＝50cm，

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及锐角三角函数关系，利用锐角三角函数关系得出OE的长是解题关键．

例2．如图，扇形OAB与扇形OCD的圆心角都是90°，连结AC，BD．

（1）求证：AC＝BD；

【分析】（1）根据等角的余角相等得∠AOC＝∠BOD，则可根据“SAS”证明△AOC≌△BOD，则AC＝BD；

（2）如图，由于∠COF＝∠EOD，则S_扇形COF＝S_扇形EOD，加上S_△AOC＝S_△BOD，易得S＝S′，于是S_阴影部分＝S_扇形AOB﹣S_扇形EOF，然后根据扇形面积公式得

【解答】（1）证明：∵∠COD＝∠AOB＝90°，

即∠AOC ∠AOD＝∠BOD ∠AOD，

∴∠AOC＝∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

AO=BO, ∠AOC＝∠BOD，CO=DO,

∴△AOC≌△BOD，

∴AC＝BD；

（2）解：如图，∵∠COF＝∠EOD，

∴S_扇形COF＝S_扇形EOD，

而S_△AOC＝S_△BOD，

∴S＝S′，

∴S_阴影部分＝S_扇形AOB﹣S_扇形EOF，

例题2变式．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝2cm，将△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°至△A₁B₁C的位置，

（1）求证：△ACB≌△A₁CB₁；

（2）求线段AB扫过的区域（图中阴影部分）的面积．

【分析】（1）由旋转的性质知BC＝B₁C、∠BCB₁＝∠ACA₁、AC＝A₁C，继而知∠BCA＝∠B₁CA₁，再根据“SAS”即可证明．

（2）根据阴影部分的面积是：S_扇形BCB1 S_△CB1A₁﹣S_△ABC﹣S_扇形CAA1，分别求得：扇形BCB₁的面积，S_△CB1A₁，S_△ABC以及扇形CAA₁的面积，即可求解．

【解答】（1）由△ABC绕顶点C按顺时针旋转45°得△A₁B₁C知BC＝B₁C、∠BCB₁＝∠ACA₁、AC＝A₁C，

∴∠BCB₁ ∠B₁CA＝∠ACA₁ ∠B₁CA，即∠BCA＝∠B₁CA₁，

在△ACB和△A₁CB₁中，

【点评】本题考查了旋转的性质及扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝S_扇形BCB1 S_△CB1A1﹣S_△ABC﹣S_扇形CAA1是关键．

例3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是________．

【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积 △EOF的面积 扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．

【解答】作DH⊥AE于H，

∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，

∴利用勾股定理可求得AB=√5，

由旋转，得△EOF≌△BOA，

∴∠OAB＝∠EFO，

∵∠FEO ∠EFO＝∠FEO ∠HED＝90°，

∴∠EFO＝∠HED，∴∠HED＝∠OAB，

∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，

∴△DHE≌△BOA（AAS），

∴DH＝OB＝1，

阴影部分面积＝△ADE的面积 △EOF的面积 扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键．

变式练习1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（ ）

【变式练习1答案及提示】D． 本题考查了旋转的性质、扇形面积计算、中垂线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．

根据线段垂直平分线的性质可得AC＝BC，由AO＝OB＝1求出AB＝2，再根据旋转的性质可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA＝60°，即旋转角为60°，再根据S_阴影＝S_扇形BAA′ S_△A′BC′﹣S_△ABC﹣S_扇形BCC′＝S_扇形BAA′﹣S_扇形BCC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可．

总之，利用分割补或拼接的方法，将这类雨刷类不规则面积转化规则扇形环图形面积求解。对于涉及扇环的面积问题，常用的方法有：直接应用公式法，和差法，割补法。

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