洛必达法则图像题（如果你想要很好地理解）

这是一道特别好的高数解答题。一道题可以帮助我们理解导数的定义公式，连续和极限的内涵，以及熟练洛必达法则的运用。题目是这样的：

已知函数f(x)={g(x)/x, x不等于0；0, x=0}，且g(0)=g'(0)=0, g"(0)=3, 求f'(0).

下面老黄边解边分析，分析的内容写在【】号中。

解：f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)(g(h)/h^2) 【显然这里只能应用导数的定义公式来求f'(0)，其中h趋于0，说明它并不是0，因此f(h)=g(h)/h，结果得到一个0比0型的不定式极限。这是因为g'(0)存在，所以g(h)在h=0连续，从而有lim(h->0)g(h)=g(0)=0】

【接下来对这个极限运用洛必达法则，分子分母同时求导，得到：】

=lim(h->0)(g’(h)/(2h))【得到的仍是一个0/0型的不定式极限。同样是因为g"(0)存在，所以g'(h)在h=0连续，从而有lim(h->0)g’(h)=g’(0)=0】

【但是，这里却不能继续运用洛必达法则了。假如继续运用洛必达法则，就会得到lim(h->0)g"(h)/2。并且很多人顺理成章地，就会得到结果等于g"(x)/2=3/2. 虽然答案是对的，但解题的过程却是错误的。因为题目并没有给出g"(h)在h=0连续的条件，所以并没有lim(h->0)g"(h)=g"(0)=3的直接关系。正确的方法如下：】

=(1/2)lim(h->0)(g'(h)-g'(0))/h【上面极限中的因子二分之一被提到极限符号前面。另一个因子g'(h)/h的分子减去g'(0)，就构造出了g"(0)的定义公式了。而g'(0)=0，所以等式仍然成立。现在就可以得到结果了】

=g"(0)/2=3/2.

整个过程，你看明白了吗？最后把过程整理出来，其实是很简单的。

解：f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)(g(h)/h^2)=lim(h->0)(g’(h)/(2h))

=(1/2)lim(h->0)(g'(h)-g'(0))/h=g"(0)/2=3/2.

这么简单的解题过程中，却蕴含了这么多的知识，你怎么看呢？