质数和合数的整理（349091）

“9091”合数的充分条件与质数的必要、充分条件，今天小编就来聊一聊关于质数和合数的整理?接下来我们就一起去研究一下吧!

质数和合数的整理

“9091”合数的充分条件与质数的必要、充分条件

李联林

简介：本文对能够判定出“9091”数是否是个合数的充分条件，以及能否成为质数的必要条件，进行了更加全面地梳理和讨论，进而又给出了四种质数充分条件的可能形式(将来还会发现更多)；也是对于“结构数论及更大质数的发掘”一文中，第三章3、5两节内容的补充。使得“9091”质数的出现规律，显得更加清晰可见，环环相扣，形成了一个完整的体系。这些发现，足以推翻学术界公认，“质数的出现杂乱无章、没有规律”的结论。文中公布的成果，将会是本世纪数学界最佳成果之一。虽然文中内容一般人已不易读懂，但只需要知道文中给出多个极大的质数，其中Lˇ897112950571009，已有一千多万亿位的长度，远超人类经过千百年来的努力，即使有巨型计算机的帮助，方才获知的只具有二千多万位长度的梅森质数Mˇ82589933即可。取得这种巨大进步的原因是，传统的教科书只会告诉我们，应该在什么类型的数值当中，怎么样去寻找质数；而本文却告诉读者，应该在什么类型数值的位数当中，怎么样去寻找质数。表面上看，两者的差别只多出来“位数”两个字，内涵却迥然不同，结果也就翻天覆地。详细内容，就留给将来愿意读懂此文的人吧，或许还需要二十年。但这并不影响读者，即使没有阅读或者理解，本文前面大部分段落中的内容，仍然能够直接应用在文章最后部分中，给出的四种质数充分条件，来找出更大的质数(只需借助质数查询网站，验证p值是不是质数即可)。这就是说，即使你不知道为什么(其实作者也不尽其然)，但你可以知道怎么办；学不会做饭没关系，会吃就行。

因为本文是普及版本，为了便于更多人理解，先普及一下什么是必要条件？何为充分条件？必要或者充分条件，原本是属于逻辑学中的术语。通俗地讲，人都有两条腿，这就是能够判断出你是一个人的必要条件；但有两条腿的却不一定都是人，不能成为是个人的充分条件。下了场雨，当然可以说田野里会有水，这是田野有水的充分条件；但如果说下雨是田野里有水的必要条件，就不对了，田野有水的原因可以多种多样。根据某种条件来寻找质数，也是这个道理。只要符合某种条件以后，发现它一定不是、可能是或者一定是质数即可；并不意味着所有的合数和质数，都必须满足这些条件。“弱水三千，只取一瓢饮”。

定义“9091”数，是指最低两位数是“91”，其余高位上全是成对的“90”。可用Lˇl来表达这种奇数，其中字母l，表示数值中含有“90”的对数。例如，Lˇ0代表91，Lˇ1代表9091，Lˇ2则代表着909091，…。显然，这种数值可以任意大。

依据原文第二章第2节图表中的大量数据，在第三章第5节中给出了结论:“9091”合数中的质因数，将会随着数值的增大(即位数l的增大)，以循环周期c/2的倍数，即与k*c/2有关（其中k=1,2,3,…），从某个Lˇl开始，循环出现。换句话说，因为Lˇl的位数l，决定着Lˇl的倒数，小数点后面循环周期的长度c，c = 4*l 6；那么，只要位数l是下列推导出来的数值，符合了合数的充分条件，Lˇl就必然是个合数。

具体推导过程如下。

因为Lˇ0 = 91 = 7*13，可知Lˇ0是个合数。此时位数l=0，那么循环周期的长度，c = 4*0 6 = 6，即1/91 = 0.010989…；从此位数值开始，后续将有一系列的位数数值，只要l = 0 k*6/2，其中k=1,2,3,…，即l = 3,6,9,12,…，Lˇl都将是合数，而且必将含有与Lˇ0相同的质因数，7和13。例如，l = 0 1*6/2 = 3时，Lˇ3 = 90909091 = 7*13*19*52579。

类似，当l=1时，Lˇ1 = 9091，循环周期长度，c = 4*1 6 = 10，即1/9091 = 0.0001099989…。虽然Lˇ1是个质数，但是后续也有一系列的位数数值，只要l = 1 k*10/2，其中k=1,2,3,…，即l = 6,11,16,…，Lˇl全都是合数，而且都将含有9091这个质因数。例如，l = 1 1*10/2 = 6时，Lˇ6 = 90909091 = 7*13*211*241*2161*9091。

类似地还可以有，l = 2 k*14/2，l = 3 k*18/2，l = 4 k*22/2，…。把这一系列的数值叠加、结合在一起，就像是织起一张越来越密的渔网(寓意着数值越大时，质数越稀疏，本质上就是一种筛法)，使得当l = 3,6,9,11,12,15,16,18,21,23,24,26,27,30,31,33,36,37,39,41,…，Lˇl都将是合数。此时，若从另外一个角度上看，把这些位数值代入到一个公式中去，p = 2*l 3，发现，2*3 3 = 9，…，2*41 3 = 85，也都是合数。有意思的是，未被合数充分条件这张“渔网”，筛选出来的那些位数值，即l = 1,2,4,5,7,8,…，虽然对应的Lˇl并不一定全都是质数(例如Lˇ4，Lˇ5，Lˇ7就不是)，但是，P = 2*l 3，这时却全都是质数。例如，2*1 3 = 5，2*2 3 = 7，2*4 3 = 11，2*5 3 = 13，2*7 3 = 17，2*8 3 = 19，…。这种现象，就是质数必要条件的起源。

这就是说，能够判定出Lˇl是合数的这种充分条件，与第三章第3小节中给出的，Lˇl是质数的必要条件，“如果Lˇl要是个质数，首先它的位数值必须满足一个公式，p = c/2 = 2*l 3，是一个质数，才有可能”，两者是等价的。例如，如果l=6，既可以根据Lˇl是合数的充分条件，因为l = 0 2*6/2 = 6，直接判定出Lˇ6必然是个合数，而且质因数中必然含有7和13；也可以应用Lˇl是质数的必要条件，因为p = 2*6 3 = 15，不是一个质数，进而判定出Lˇ6必然是个合数。两者来源均与c/2有关，因此结论也就相同。

但是网织得再密，也会有漏网之鱼。例如，当l=4时，未经过质数验证之前，无论是依据Lˇl是合数的充分条件（因为无法找到能够判定它是合数的确切数值），还是依据Lˇl是质数的必要条件（因为p = 2*4 3 = 11，是一个质数），都无法立即判定Lˇ4是一个合数；而实际上，9090909091 = 11*23*4093*8779，却是一个合数。究其原因，原文中已有讨论，不再累述。

虽然Lˇl是合数的充分条件以及它是个质数的必要条件，两者等价，但是在通常情况下，因为Lˇl是质数的必要条件，可用一个公式来表达，应用起来就要更加方便。

不过，质数必要条件只能帮助我们寻找质数时，避免对一些不必要的数值进行质性验证，减少了计算量，仍不足以使得我们能够高效地找出极大的质数。

既然已知“9091”质数出现时具有的规律性，均与其位长l有关(这种发现已是一个极为重要的进步)，那么，就不应只有上述讨论过的那么点内容，不妨依据已经获知的质数，更加大胆一点地进行总结、归纳、猜测：绝大多数“9091”质数，相互之间都可有某种关联性，或者是规律性；而这种关联性，应与它们位数l的奇偶，以及特有的结构形式有关，因此可以细分出来许多不同种类的“9091”质数。

这就是说，原本用于判定质数的必要条件，若与位数l的某种特定数值结构，结合起来综合应用(符合特定条件时即是质数)，就可演变成为质数的充分条件。

质数的充分条件，要远比必要条件更加有用。这是因为，必要条件只能帮助我们，排除掉一定不是质数的大部分合数；而充分条件则能告诉我们，哪些数值就是质数。哪怕这种充分条件只是以较大的概率成立时，亦是如此。因为所需计算量相对较少（只是对于少数且相对较小的位数l，进行筛选计算，并不需要对于众多极大的Lˇl数值，进行大海捞针似地验证、筛选），几近成为了一种质数公式，可以用来预测出一些极大的质数；而且将来理论一旦成熟，甚至无需过多地进行质数验证。

首先，需要在已知质数中，找出各种不同类型且具有特定数值结构的位数，作为起始位数或者起始质数。而所谓特定的数值结构，是指不同质数的位数之间，数值结构存在的某种关联或者共性；然后推测，这种已知位数之间的关联性，寓意着未来同类质数的位数之间，应有的规律性。其实前辈学者在研究梅森质数时，应该也尝试过寻找质数之间的关联性；只是因为所研究的数系不同（突显“9091”数系更加难能可贵），所以在梅森质数的p值，或者是在自然数当中，并不存在类似的规律。

在小于一千位长的数值当中，一共筛选出了八个质数，Lˇ1，Lˇ2，Lˇ8，Lˇ14，Lˇ25，Lˇ32，Lˇ145，Lˇ319。在它们的位数值当中，有着各自结构特点(随后再描述这种特点)的最小数值分别是，2，14，25和319；而且随着更加广泛地筛选，获知更多质数后，将来还会找到更多起始质数地位数值。每一个起始质数，可以引出来一系列同类的质数。

结合我们已知的质数必要条件，可以总结、归纳出，相对应的四种质数充分条件。其一是：受到已知Lˇ2、Lˇ8和Lˇ32同为质数的启发，可令l = 2^k，其中k = 1,3,5,7,…，这样位数2，8以及32之间就有了关联，并意味着后续还有一系列的数值；然后根据质数的必要条件，利用质数必要公式来逐一计算、筛选这些位数值，p = 2*l 3（是否需要增加p = 2*l 7，进一步限制，有待于验证），如果p是质数，那么Lˇl也是一个质数。

这样一来，就可以从起始质数Lˇ2，推导出Lˇ8(因为2^3 = 8，而2*8 3 = 11，是个质数，即可判定Lˇ8也是质数)，Lˇ32(因为2^5 = 32，而32*2 3 = 67，是个质数)，Lˇ2048（因为2^7 = 128，而2*128 3 = 259，不是质数，所以Lˇ128一定不是质数；…；而2^11 = 2048，2*2048 3 = 4099，是个质数），Lˇ32768，Lˇ131072，Lˇ134217728，Lˇ536870912，…，都应是质数。类似地，还可以找到更多后续同类质数。

有理由可以进一步猜测（有待于验证），只要起始质数的位数l是个偶数时，都具有类似的规律性。那么，可以得到第二种质数充分条件:依据另外一个起始质数Lˇ14，因为l=14，起始位数值也是一个偶数，同样是计算这种具有特定数值结构，14的奇次方，14^k，其中k = 3,5,7,…；发现当14^5 = 537824时，因为，p = 2*537824 3 = 1075651，是个质数，从而推断Lˇ537824也是个质数。持续下去，还能找到更多。

如果某个起始“9091”质数Lˇl，当它的l值是个奇数时，结构形式通常为，l = 1 a*6，其中a是个不会被6整除的常数。例如，l = 25 = 1 4*6，其中a=4；l = 319 = 1 53*6，a=53。受到已知Lˇ145也是个质数的启发，因为位数值，145 = 1 4*6*6，显然与25 = 1 4*6，存在着关联性，那么可以作出猜测：如果发现位数，l = 1 a*6，Lˇl是个质数时，假如，p = 2（1 a*6^k） 3，其中k = 2,3,4,…，是个质数，那么Lˇ（1 a*6^k），也是同类质数。

这样，就可得到第三种质数充分条件。依据起始质数Lˇ25，逐一计算，l = 1 4*6^k，k = 2,3,4,…。发现，l = 1 4*6*6*6 = 865时，因为p = 2*865 3 = 1733，是个质数，即可推断Lˇ865也是个质数。持续类似的计算过程，即可得到更多的同类质数:Lˇ145，Lˇ865，Lˇ11284439629825，…。其中Lˇ11284439629825，已有二十多万亿位的长度。

受到第三种质数充分条件的启发，可以作出类似的猜测:依据另外一个起始质数Lˇ319，因为319 = 1 53*6，则令l = 1 53*6^k，其中k = 2,3,4,…，仍然是把这些位数值逐一代入进质数必要公式中去，P = 2*l 3，通过判断它们是不是质数，也能够找出一些很大的Lˇl质数。例如，Lˇ1909(因为，1 53*6*6 = 1909，而p = 2*1909 3 = 3821，是一个质数)，Lˇ11449(因为，1 53*6*6*6 = 11449，而p = 2*11449 3 = 22901，是一个质数)，Lˇ2472769，Lˇ14836609，Lˇ897112950571009，…。其中Lˇ897112950571009，更有一千多万亿位的长度。

在已知的少数较小“9091”质数当中，选择哪些数值作为起始质数，即，应该选择具有什么样数值结构形式的位数l，从中推导出来一系列更大的位数数值；再把这些位数l，代入到质数的必要条件中去，对p值进行质性判断后，即可获得一系列更大的质数，全过程被总结如下:首先筛选出一批“9091”质数Lˇl，从中挑出具有独特结构特点的位数l。如果位数是个偶数(例如2和14)，目前知其结构应是(2*b)的形式(其中b是一个奇数，不同的奇数b，寓意着不同种类的质数)，持续计算它的奇次方，(2*b)^k，即k = 3,5,7,…，作为新的位数l；如果位数是个奇数(例如25和319)，目前知其结构应是(1 a*6)的形式(其中a是某个不能被6整除的常数，不同的常数a，同样寓意着不同种类的质数)，持续计算，l = 1 a*6^k，其中k = 2,3,4,…，同样作为新的位数l；只要分别把这些新的位数值l，代入到一个公式中去(质数的必要条件)，如果p = 2*l 3，是个质数，那么就能得到与l对应的，新的更大“9091”质数Lˇl。

目前并不清楚，一共有多少种类的质数充分条件，但作者揣测或有无数种。上述这四种质数的充分条件，尚需更多数值的验证:是否出现反例；概率是多少？作者有把握的是，“9091”质数出现的规律性，确实与其位数l有关，这也正是结构数论的价值核心所在。若能获取十万位长以下所有“9091”数值的筛选、验证结果，就应该可有初步的结论；以现有科学发展的水平，这不应是一件难事。

作者的研究方式，多少有点类似于门捷列夫是如何发现化学元素周期表的；如果门先生的研究方式，可以被形容为是对科学的大胆猜测，那么作者当前所处窘境，更像是对于真理的一种美好憧憬。

除此以外，另有些有意义的研究工作有待展开：如何证明“9091”质数有无穷多个？除了Lˇ1和Lˇ2，位数l的数值是连续的以外，“9091”孪生质数存在吗？

打印出人们花费了几百年时间，后期更有全球众多计算机联网协同计算（GIMPS），目前获知的最大质数，只有二千多万位长度的梅森数Mˇ82589933，就需要二万多张A4纸；转化一下研究思路，仅凭着简陋的条件，就可以发现许多更大的质数，打印其中有一千多万亿位长度的Lˇ897112950571009(当然并不需要)，恐怕全世界的纸张都不够用。创新与智慧的力量就是这么强大。

发现一个美好的事物，你会心旷神怡，而预见到一个前所未见的美好世界，将会使人终身陶醉其中。

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