北京中考数学分析28题（读透定义发散理解）

读透定义，发散理解——2022年北京中考数学第28题

2022年的北京市中考数学试题，难度相对2021年有较大变化，总体上更容易了。压轴题依然延续了新定义题型的风格，以平面直角坐标系中的点为素材，构建“对应点”新定义，通过平移、对称等变换，探究圆外一点到圆心的距离最值。

题目

在平面直角坐标xOy中，已知点M(a,b)，N.

对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P’，点P’关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”.

(1)如图，点M(1,1)，点N在线段OM的延长线上，若点P(-2,0)，点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ交线段ON于点T，求证：NT=1/2OM；

(2)☉O的半径为1，M是☉O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1/2<t<1)，若P为☉O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ，当点M在☉O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)

解析：

(1)图中给出的已知点坐标为P(-2,0)和M(1,1)，并没有给出点N坐标，请特别留意。

①当然，为了作图方便，题图中将点N绘制在(2,2)，于是我们根据新定义的描述，绘制出点Q，如下图：

②连接PQ交线段ON于点T，如下图：

首先由新定义可知，PP'与OM平行且相等，而点N在OM的延长线上，因此可知PP'∥ON；

其次由点P'与点Q关于点N对称，于是点N为线段P'Q中点；下面从两种思路来证明：

第一种，相似。显然△QNT∽△QP'P，再加上N是中点，所以它们的相似比为1：2，即NT=1/2PP'，而PP'=OM，所以得到NT=1/2OM；

第二种，中位线。我们知道经过三角形一边中点，且和第三边平行的直线，与两边交点间的线段是三角形的中位线，那么在△QPP'中，NT满足条件，是它的中位线，所以NT=1/2PP'=1/2OM；

最后想强调一点，由于点N坐标未给出，因此若在解题中，尤其是第②问，以N(2,2)为条件，用中点公式计算点Q坐标和点T坐标，并不符合题目本意，切不可凭“如图”二字，再加上视觉效果，而认定N(2,2)，这不叫几何直观。

(2)从题目描述中，可以确切绘出的有圆O，点M，点N，但点P在何处并未说明，即点P可为圆O外任意一点，如下图：

先声明，图上的点P仅为作图方便，其它任意位置，结论均相同，后面会说明；

我们梳理一下条件：PP'与OM依然平行且相等，长度为1，点P'与点Q关于点N对称。

我们不妨先连接P'Q，在△QPP'中，BN还是中位线吗？

利用前面已经证明过的结论，PQ与线段OM相交于点B，有BN=1/2OM=1/2PP'，再加上BN∥PP'，因此BN是△QPP'的中位线；

当点M在圆O上运动时，点P'随之运动，带动点Q运动，所以我们有必要弄清楚它们是如何运动的。

点M绕点O在圆周上运动，同理，点P'绕点P在圆周上运动；而点P'关于点N的对称点Q也绕某个点在圆周上运动，为了找出点Q的运动路径，我们可作出点P关于点O的对称点A，如下图：

连接AQ，发现对于四边形AQP'Q，点N和点O分别是其对边上的中点，若它是梯形的话，问题就非常简单了，那么，四边形AQP'P是梯形吗？

前面已经证明了BN是△QPP'中位线，即点B为PQ中点，所以我们很快便得到OB是△APQ中位线，得到AQ∥OB，结合前面OM与PP'的位置关系，所以AQ∥PP'，从而证明了梯形AQP'P，ON是它的中位线，所以ON=1/2(PP' AQ)，可表示出AQ=2t-1，这个结论非常重要，这意味着当点M运动时，点Q到点A的距离是个定值。

此处需要解读定值2t-1，含参数也是定值吗？

注意题目中“当点M在圆O上运动”这个条件，参数t并不能影响点M的运动，所以我们将它作为常量处理。

所以我们对于新定义中的“对应点”，本小题中有如下解读，每当确定一次点P的位置，相应的确定一个t的值，点Q到点A的距离就是定值，即点Q在以A为圆心，2t-1为半径的圆上。

上图中的点P是任意作出的点，在这个基础上得到的结论，是普遍成立的。

剩下的问题就非常容易了，点Q在圆A上，点P在圆A外，根据圆外一点到圆周上的距离最值情况，A、P、Q三点共线时才有最值，当点Q在线段AP上时取最小值，当点Q在PA延长线上时取最大值，如下图：

所以PQ长的最小值为AP-AQ，最大值为AP AQ，它们的差为2AQ=4t-2；

解题反思：

让我们再次审视题目条件中关于点N的描述，ON=t，并且1/2<t<1，说明点N在线段OM上靠近端点M处，我们知道点N的位置决定了对称点Q的位置，当我们改变t的值，上述证明中AQ的表示会有何改变呢？

特殊值t=1/2时，如下图：

可以发现，此时A、Q重合，PQ为定值，最值差为0；

特殊值t=1时，如下图：

可以发现，此时AQ=OM=PP'，M、N重合，PQ最大值与最小值的差为2AQ=2；

借助这两种特殊t值，我们还能推导出线段BN=1/2，也是一个定值；

其实在前面推演过程中，我们也能发现OB=t-1/2，为AQ的一半，其中ON=t，所以BN=1/2，是同样的道理；

现在我们来看点P的位置，任意位置的点P，可作不同的图形，每一种图形的推导方法，都是相同的，即同理可得，如下图：

若不限制点P在圆O外，又会是什么情况呢？

在刚才的分析中，点Q始终在圆A上，点P不仅在圆O外，更在圆A外，但如果不对点P进行限制，则极有可能出现下图情况：

当点P在圆A内部时PQ最大值为AP AQ，最小值为AQ-AP，它们的差为2AP，这是个自由变化的量；若改为最大值与最小值之和，恰好也等于2AQ；

新定义“对应点”相对于2020年的“平移距离”、2021年的“关联线段”，理解难度降低了，应用难度相应也有所下降，学生解答应该比较顺利。

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