杆件中点的转动惯量怎么计算（用微积分详细推导滚珠丝杆的转动惯量计算公式）

一、前言

非标机械设计经常会用到各种机械传动方式，常用的包括皮带传动、链传动、齿轮传动、丝杆传动等等。在动力系统设计过程中，马达选型是机械传动设计要解决的首要问题。当我们按下启动按钮时，设备能够按照预想的要求运行起来，设计就成功了一大半。转动惯量是马达选型时很重要的参数之一，一般来说选用外购标准件如带轮、链轮、齿轮及滚珠丝杆，还有连轴器、轴承等，制造商型录资料都会提供相关零件的转动惯量参数，这些参数是根据零件的材料、外形结构特征和尺寸计算得到的，通常直接选用即可。

本文将分享以滚珠丝杆为代表的各类刚性体的转动惯量的计算公式的推导过程，了解微积分相关知识及其在机械设计中的实际运用，了解转动惯量计算公式的推导演算过程，做到“知其然也知其所以然”，只有这样才能真正掌握并灵活应用，为今后的设计工作打下坚实的基础。

二、基本概念

转动惯量：刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。其表达式为：

三、滚珠丝杆的转动惯量

滚珠丝杆传动是非标机械设计最常用的传动方式。滚珠丝杆是相对比较特殊的零件，一方面可以说它是标准件，很多规格参数可以直接通过选型来确定，具有标准零件的属性，另一方面，其长度和轴端尺寸等又是根据具体的设计要求来确定的，具有非标零件的属性，所以在采购时是按标准件找专业厂商定制，但一般来说要和其它加工件一样需要提供零件图纸。

1、转动惯量公式推导

在进行转动惯量计算时，选用的丝杆轴端尺寸、螺旋槽结构都不尽相同，为了计算方便，都简化成绕轴线转动的圆柱体。

如图所示，滚珠丝杆的半径为R，长度为L，质量为m，材料密度为。

则有：

在圆柱体上截取厚度为dL的微圆盘；

在微圆盘上截取宽度为dr，半径为r的圆环；

在圆环上截取一段长为dl的质元，其对应的圆心角为d，记质元的质量为dm，

质元和圆心的连线与 x 轴的夹角为，

至此，我们得到滚珠丝杆的两个转动惯量公式：

小结：整个计算思路是先根据转动惯量的基本定义，求得质元的转动惯量，再依次计算得到圆环、圆盘及整个圆柱体的转动惯量。

2、公式的应用及演变

前面我们推导得到了滚珠丝杆（圆柱体）的两个转动惯量计算公式，实际应用时公式中的每一个参数其实是有单位的。

上述公式（1）、（2）中的所有参数都是采用国际制单位，但在实际应用中，很多时候给出的并不是国际制单位，利用公式时就要进行单位转换。

滚珠丝杆一般材质都是钢材，钢材的密度：=7.8 g/cm^2，如果丝杆的外径D和长度L都以cm为单位，

公式（5）是我们在很多资料中经常看到的公式。

由上述单位转换过程，我们知道计算公式与各参数的单位密切相关，使用公式时要特别注意。